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facilités particulières d'ans l'élude des fonctions (M) uniformes dans une ré- 

 gion du plan : c'est sans doute par elles qu'il y aura lieu de commencer. 

 Les résultats obtenus par M. Helge von Koch et par M. Painlevé pour les 

 fonctions méromorphes permettraient d'ailleurs, sans doute, dans cer- 

 tains cas, de former un développement donnant la valeur de ces fonctions 

 en tous les points où la fonction a une valeur finie. Il suffirait, pour cela, de 

 considérer la fonction 



t(=)=2i:2 



'^/'.7.'' 



: 1 !•/ = 1 i 



pa -h (/ b -h rc 



et de prendre les numérateurs A^^,. assez petits; on pénétrerait ainsi à 

 l'intérieur du triangle lacunaire abc : il y aurait lieu d'y étudier la conver- 

 gence. Mais la non-uniformité de la convergence entraîne de graves diffi- 

 cultés, et il sera sans doute préférable, malgré l'importance et la beauté 

 des résultats obtenus, de se borner d'abord aux séries telles que la conver- 

 gence dans une aire quelconque entraîne la convergence uniforme dans toute 

 aire intérieure. » 



Observations sur la Communication précédente, par M. P. Painlevé. 



« Les restrictions imposées par M. Borel aux séries (M) qui peuvent 

 représenter une fonction (M^ rendent, en effet, peu vraisemblable qu'il 

 puisse se présenter une contradiction entre ses définitions et la théorie des 

 fonctions analytiques. Je crois intéressant, toutefois, de signaler l'exemple 

 suivant : j'ai pu former des séries (M) qui convergent pour toutes les va- 

 leurs réelles de la variable .r, ainsi que toutes les séries dérivées terme à 

 ternie et qui répondent aux conditions suivantes : 



» 1° La somme F(x) de la série est continue, ainsi que toutes ses dé- 

 rivées, quel que soit a- (et ces dérivées s'obtiennent en dérivant la série 

 terme à terme). 



» 2° Si l'on forme la même série (M) en prenant.»,, comme origine, à 

 l'aide des valeurs F(jj), l''(x„), etc., la série ainsi obtenue jouit des 

 mêmes propriétés et représente encore F(a;). Il n'y a d'exception que pour 

 ,'r„= i; en ce point, toutes les dérivées de F (x) sont nulles et la série (M) 

 correspondante se réduit à une constante. 



» 3° Pour a->i, F(œ) coiincide avec une fonction analytique (holo- 



