3l8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



à partir d'un certain indice n, gi désignant la plus petite racine positive de 

 l'équation 



On en conclut en particulier le théorème suivant : 



» Pour toute fonction entière satisfaisant à V hypothèse (a), l'inégalité 



i««i>(i-o[Ç«(i"g«r] 



est vérifiée pour une infinité d'indices n. 



» C'est là encore un résultat bien précis. En voici un autre plus parti- 

 culier, mais com[)ortant cependant des applications intéressantes : 



» Si f(^œ^ est une fonction entière de genre o qui vérifie l'hypothèse (^a^ 

 et dont les zéros sont tous situés sur un même rayon issu de V origine, on aura, 

 à partir d'un certain indice n, 



i««i>(i-o[Ç^«(ios«r] 



T désignant la racine positive de l'équation 



"" r . I 



« La quantité -^ — ^ va en croissant de - à i , lorsque p croît de o à i , 



» 2. Supposons maintenant que, rhy|)othèse (a) étant toujours véri- 

 fiée, on ait en même temps, quelque petit que soit i, 



(b) M{r)>é'-'^'''""''->^ 



pour une infinité de valeurs r indéfiniment croissantes. 



» Si p n'est pas entier, il existera alors un nombre positif )^ tel qu'on 

 ait, quelque petit que soit i. 



(4) \an\<(i + '^)[in{\ogn)-^J 



pour une infinité d'indices n. 



» Nous avons démontré que la plus petite valeur \ telle que l'inégalité (4 ) 

 ait lieu pour toute fonction entière vérifiant les hypothèses (a) et ( b), est 



1 = p"-' -^^^ pour o << p < I , 



