SÉANCE DU ]«■• SEPTEMBRE 1902. SgS 



méromorphes, distinctes des transcendantes classiques et ne peuvent être 

 réduites aux équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. 

 Mais le caractère, en quelque sorte relatif, de cette irréductibilité résulte 

 des explications détaillées données par M. Painlevé, et la question de 

 savoir s'il n'existe, au sens absolu des termes, aucun moyen de rattacher 

 les équations différentielles dont il s'agit aux équations linéaires, ou d'ex- 

 primer leurs solutions à l'aide des transcendantes classiques, est encore à 

 résoudre. 



» En fail, les équations différentielles à points critiques fixes, de l'es- 

 pèce indiquée, sont réductibles à des systèmes linéaires et voici comment 

 la démonstration s'établit pour la plus simple d'entre elles, les deux autres 

 pouvant être traitées par des procédés tout semblables. 



M J'écris ainsi l'équation proposée : 



en désignant par \j. un paramètre qui doit demeurer arbitraire, et, posant 

 -^ = X,, je joins à l'équation (i) celle-ci, qui s'en déduit, 



(2) -£^ = 11X^X,-^IJ.. 



M Le système ainsi composé est un de ceux auxquels convient la forme 

 générale 



( 3 ) dxf,: fd' cc,-"^ /)* dx, dxÀ ^ dx, U' X,' - 2 [^!'l dx, dx,\ , 



déjà rencontrée dans d'autres recherches; les indices peuvent y recevoir 

 les valeurs i, 2 et 3, et les coefficients /?,'), dépendent à volonté de x^, 

 07,, ^s- Les équations (3) .sont associées à un système linéaire 



( 4 ) ^/^<'' +^P] 'a' ="" ^-^-^ = " ' ^/- - 2 ="' f^-^A = o 



et leurs propriétés sont étroitement liées, quel que soit d'ailleurs le choix 

 des variables. 



» Mais, quand l'équation (1), seule, est donnée, le couple d'équa- 

 tions (3), qu'on lui substitue, n'estpas complètement déterminé. Les rela- 

 tions identiques 



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