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permettent, en effet, de modifier les éqTialions (i) et (2), sans qu'elles 

 cessent d'être représentées par des formules semblables à (3) et, par suite, 

 (l'èlre associées à un système linéaire (/j ) ; il suffit que l'ensemble 



(6) ^'■:rJy^p\':^<l-v4œ,\ ^ <lxjy^,^l^^dx,dxn 



se réduise, en tenant compte de (5), à (Gr!;-t- lJ.x^)dx\ pour h = 0., 

 h! ^^ I, à {\ix.,x^ + \]?)dx\ pour h. -- 3, h' = \ , ce qui assujettit les coeffi- 

 cients p'/'l à rem|)lir deux conditions. 



» Le système (4) est d'une simplicité particulière, quand il équivaut à 

 un ensemble d'équations différentielles totales, c'est-à-dire quand les rela- 

 tions suivanles 



(7) .'^*)+2;.;^.:^>=o, 



où z est une fonction de .r,, .t„, x^ ei z"'\ s"'*' représentent -r^ , " — , 



sont .six équations, aux dérivées partielles, ayant quatre solutions com- 

 munes, dont l'une est une constante. 



» Pour qu'il en soit ainsi, les coefficients p''.''i. doivent satisfaire à des 

 conditions bien connues, qui laissent trois d'entre eux arbitraires. En y 

 joignant : 1° les deux conditions nécessaires afin que le système (/() soit 

 associé aux équations déduites de l'équation proposée; 2° une relation 

 d'api'ès laquelle le jacobien des trois solutions non constantes du sys- 

 tème (7) est une fonction donnée des variables, par exemple est égal à 

 l'unité, on définit les coefficients /?J'\' d'une façon complète. 



» L'intégration des équations (3) et, par suite, de (i) est ainsi réduite 

 à celle d'un système liné;:ire. 



» En effet, la résolution du syslèuie (7) exige uniquement celle d'une 

 équation différentielle linéaire du quatrième ordre. Les relations établies 

 entre x^, x^, x, par le couple associé, qui comprend l'équation pro- 

 posée, expriment que deux solutions quelconques de (7) s'évanouissent à 

 la fois. 



» La possibilité de rattacher l'étude de l'équation (2) à celle d'une 

 équation différentielle linéaire est ainsi manifeste; la construction effec- 

 tive de cette dernière équation e>t uu |)r(>blème assez complexe, auquel 

 conduit l'analyse précé dente et que j'espère traiter dans une prochaine 

 Communication. 



