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intéo;rales se ramènent par une transformation [)nnctuelle 



X = '^(w,y,z), Y = 'l>(cc,Y,z), Z = y(.r,y,z.) 



aux droites de l'espace. Convenons de dire rpie les systèmes (2) qui 

 répondent à cette condition sont de l'espèce D. Tous les systèmes (2) de 

 Tespèce D dépendent de trois fonctions arbitraires de .r, y, z; étant donné 

 un système (2) algébrique, on sait reconnaître algébriquement s'il est de 

 l'espèce D, et son intégration équivaut alors à celle d'une équation linéaire 

 (ordinaire) du quatrième ordre, à coefficients algébriques. 

 » Ceci posé, M. Liouville écrit l'équation (i) sous la forme 



et il cherche à déterminer un système (2) de l'espèce (D) qui soit consé- 

 quence de (3). Pour qu'un système (2) soit conséquence de (3), deux 

 conditions sont nécessaires : comme les systèmes (2) de l'espèce D dé- 

 pendent de trois fonctions arbitraires, M. Liouville assujettit ces fonctions 

 à une relation supplémentaire et arrive à cette conclusion qu'on peut 

 remphcer a/ge'briqiiement le système (3) j)nr un svstème (2) de l'espèce D ; 

 autrement dit, l'intégration de (3) équivaut à celle d'une équation linéaire 

 (ordinaire) du quatrième ordre, à coefficients algébriques. 



)) Pour comprendre que cette conclusion ne saurait être exacte, il suffît 

 de remarquer que le raisonnement siibsiste sans modification quand on 

 remplace le système (3) par un système quelconque de la forme 



(4) '^,=m(ar,y,z), ~ =^(x,y,z), (M, N algébriques en a;, y, :;). 



Toute équation différentielle {algébrique) du second ordre serait donc réduc- 

 tible à une équation linéaire {algébrique) du quatrième ordre : résultat 

 évidemment inadmissible. 



» En réalité, ce que démontre M. Liouvill», c'est que toute congruence 

 de courbes (gauches ou planes), définie par un svstème (4), est réduc- 

 tible par une transformation j)onctuelle à une congruence de droites. Mais 

 celle réduction est j)ossible d'une infinité de façons, et le calcul d'une 

 transformation de passage équivaut ci l'intégration du système (4). 



)) Si l'on effectuait les calculs indiqués par M. Liouville pour déterminer 

 les systèmes (2) de l'espèce D qui sont conséquences de (3), on trouverait 

 que les coefficients de ces systèmes dépendent d'un système d'équations 



