SÉANCE DU 8 SEPTEMBRE 1902. /Jl^ 



aux dérivées partielles à trois variables indépendantes (r, v. z), dont la 

 solution générale renferme une fonction arbitraire de x, y, :-, et quatre 

 fonctions arbitraires de deux variables. L'intégration de ces systèmes 

 revient à celle de l'équation (i), et réciproquement. La réduction indiquée 

 par M. Liouville est donc purement illusoire. 



» 2. Je voudrais, à cette occasion, insister sur le caractère de Virréduc- 

 tihilité de l'équation (1) et des transcendantes uniformes y{x) qu'elle en- 

 gendre. J'ai montré que ces transcendantes sont essenliellernenl nouvelles. 

 Autrement dit, elles ne sauraient être des combinaisons explicites (si 

 compliquées soient-elles) des transcendantes uniformes classiques (fonc- 

 tions elliptiques, abéliennes ou dégénérescences, intégrales d'équations 

 linéaires à une variable, à coefficients algébriques). Par exemple, ,>'(•»;) ne 

 saurait être une fonction algébrique de plusieurs solutions d'équations 

 linéaires (ordinaires) à coefficients algébriques, non plus qu'une combi- 

 naison algébricpie de fonctions 0, où les arguments seraient rem|)lacés par 

 des fonctions elliptiques de x, ou par des solutions d'équations différen- 

 tielles linéaires (algébriques), etc. J'ai été conduit ainsi à une définition 

 de Virréductibili/é des équations différentielles, définition qui s'impose 

 dans ce genre de recherches, mais qui est plus restreinte que celle qui 

 convient dans l'étude de V intégration formelle (^^). J'ai déjà signalé cette 

 distinction ; mais j'indiquerai ici très explicitement comment se pose le pro- 

 blème de \a réductibilité formelle pour l'équation (i). Des remarques ana- 

 logues s'appliquent aux deux autrt^s tvpes (]ue j'ai énumérés. 



» 3. La définition la plus générale et la plus rationnelle qu'on ait 

 donnée de l'irréductibilité d'une équation différentielle est celle de 

 M. Drach, que je rappelle en me limitant an système (4). Soient u {x, y, =), 

 v(^x, y, z) deux intégrales premières distinctes de (4); elles vérifient le 

 système 



(S) ^ -f- M , - + N^ = o, ;t- -H My- +N^ = o. 



^ '^ ôx dy ôz ax oy Oz 



» Le système du deuxième ordre (4) est dit réductible quand on peut 

 adjoindre au système (S) au moins une érpialion (algébrique) aux dérivées 



(') C'est ainsi que les (■([uaLions du troisiénu» ordre, qui définissenl les fonctions 

 fuclisiennes, engendrent des transcendantes miilVirnies essentiellement nouvelles, bien 

 qu'elles se ramènent (en permulant le rôle de la fonction et de la variable) à une 

 équation de Kiccati. 



