5o4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Je me propose d'indiquer ici dans quel cas le dernier réseau conjugué 

 reste invariable dans une déformation continue. 



» Il faudra d'abord étudier les différents cas qui peuvent se présenter 

 dans la recherche de la solution R, ce qui conduit à examiner le système 

 formé par (i) et 



(2) j- T- = ^. 



^ ^ au âv 



dx dx dy dy dz dz ^ 1 i- . 1 • i . i> • 



ouc^^i — ^ — l-i^^r — I — ï — r- On est encore obliçe de considérer 1 equa- 



ou av au ov au av ° ^ 



tion 



« a(^)Vb(^)=c. 



A, B, C étant certaines expressions formées à l'aide de a, b, c et de leurs 

 dérivées. Voici les résultats qu'on tire des équations (i), (2) et (3) : 



» 1° La solution^- n'existe pas; 2° la solution R dépend d'une constante 

 arbitraire (en dehors de la constante additive) : ce cas correspond à 

 A = B ^ C = o; 3" il y a une seule solution R; 4° H y « deux solutions R 

 distinctes; B" ily a deux solutions R confondues : dans ce cas, la solution R 

 satisfait aussi à l'équation 



et réciproquement. 



M Cherchons maintenant dans quel cas on a un réseau qui reste inva- 

 riable dans une déformation continue. Il faudra que 



,, ., . , , dR d^ dRd^ . ,^ ^ , ,. , 



ou, Q une manière générale, -^ — -, ^ — r-, b étant une solution quel- 



o de du du dv ^ 



conque de (i), satisfasse à une équation de Laplace à invariants égaux. 



Or, cette condition exige que R soit une solution de (4). Par conséquent, 



ou bien A ^ B = o et, en vertu de (3), C = o, et alors on se trouve dans 



le cas 1° ; ou bien on se trouve dans le cas 5°. Ce sont là les seuls cas qui 



conduisent à des réseaux conjugués invariables dans une déformation 



continue. Le cas 5" est très difficile à étudier. Je vais donner sur le cas 2° 



quelques aperçus généraux. 



» J'ai déjà démontré {Bulletin de M. Darboux, 1900) que l'équation (i), 



