SÉANCE DU 6 OCTOBRE 1902. Sag 



formant un g, k et b e,,, tels que ^. „%,..., G a un g,. {On sait d'ailleurs que 

 gj.p^ _ p,^oc,). La proposition étant évidente quel que soit b pour a = i, on 

 peut l'admettre quel que soit b pour les valeurs de a plus petites que celle 

 considérée. Soit D le plus grand commun diviseur de j p,, . . ., Pi | = B et 

 de A. Si D = I , la proposition est démontrée. Si D est un g:„ < A, B conte- 

 nant 66(4, et a'e^a) qui forment un ^j est d'ordre ba' et a un gj. Soit donc 

 D = A. Si A (qui est ici abélien) a un g„'A'>i et < A(a = a'a"), A' sera 

 normal dans G, et l'on peut admettre que G | A' d'ordre ba" , qui contient un 

 g„//AlA' formé de ses e„«, et è e,^, (les A'p,-, tous distincts puisque leur 

 nombre est multiple de b),a. un gj auquel répond dans G un gj«, G' = 2A^; 

 contenant un gj. Soit donc A simple, donc a premier = p. Considérons la 

 représentation régulière g de G et soit, dans q, \s\=zX [^ = n,*,-, 

 s^.= (a,, ...a,y,)' ^es ^ik ^^^""^ ^P symboles; le champ de St sera désigné 

 par 5,] la représentation de A. g divisera \x',è\ en posant .1,'= j^,, ...j^^j, 

 S = 2i, t = lL''jk, ï;t (formée avec a a. •••>«« comme/, avec a,,, .... a^,) 

 parcourant le symétrique de champ a, a, ■ . ., «w Soit q = \A.Xç où l'on 

 peut supposer que x^ est un <i^ty II est facile de voir que, si r''a.s]^t = U^, 

 les E; sont une permutation des li telle que la substitution {li, ^■) = t est 

 semblable à /;', ii étant mis à la place de a,,. De plus, si (tUsfy= i^llsf', 

 Y),, est la somme des jy.E, que t», t', . . ., ^^-' substituent à E,. Si [j. est l'ordre 

 de m/-, on aura, S étant premier à x', t-v-=Usf=i, donc yi,= o mod p. 

 Si donc t est régulière, on a lli=o. Soit alors x^=t'?^ns]i (i<P* étant 

 dansg)eta:, x, = x,s\ t^^UM^' P^ = Us\. On aura t^^^ tP^Tl^ -^^^ = t^'^U^ ^ , 

 donc i("if^'=Z<') et lf^li^lf-+-l. Or l'action de q sur les s,- est celle 

 d'un g* régulier. Donc /'f est régulière et de même /'?'. DonclEf^s^E^^o 

 et^^o. Donc2a7pet2/'P' = S' sont deux groupes isomorphes. Orlp/JP'est 

 un g* régulier. Donc -AS' est un g^^ régulier. Donc q est semblable au produit 

 direct de X par un diviseur de S. 



» II. Si un gab (« premier à b) Q contient b e(4,(|î,, Po, ..., P4) et 

 è(a — i) 4- 1 «(a) repartis en b g^ abéliens conjugués A, = A, A^, . . . , A4 pre- 

 miers entre eux deux à deux, on a G = 2aA,Pa. Il suffit de montrer que 

 chaque A,oc^(a^-^ i dans A^; i^k) contient un p. On voit d'abord que A, 

 n'est permutable qu'aux a,-, et que G ne contenant d'autre e^^^) que des a. 

 ou des P, un a, n'est permutable qu'à un a, un p qu'à nn p. De plus, un 



deux substitutions) sont semblables, lorsqu'ils ne diffèrent que par le choix des sym- 

 boles. 



C. R., 1902, V Semestre. (T. CXXXV, N» 14.) 7'^ 



