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et l'on en tire 



lidt^ — (dx + idy) o'(p) — i dx — idy) 'Y (q) 

 = i(p)dp—'\'{fl)d(i. 



L'intés^rabilité se trouve ainsi mise en évidence, et il vient, en représen- 

 tant par 0. une constante arbitraire, 



(7) 2Ù0J -f-a) = o(/?j — •J>(y). 



» Cette relation est essentiellement réelle, car la forme (6) des fonc- 

 tions arbitraires montre que le second membre renferme en factenr i, qui 

 disparaît ici de part et d'autre. 



» 3. La première intégration étant ainsi effectuée une fois pour toutes, 

 la seconde peut être, dans chaque cas, ramenée aux quadratures. 



» On a, en effet, 



dy I e-'"' — I I e?(/')-'l'('y)-2'=' — i i ^çf/jJ-''^ — g'{;(7)-i-ia 



■^ — 1 a n *'^ to = — = " =^ i ' 



dx ^ i e-"' -h I ( g9(/))-'l'(7)-2/a _^ , i g-ni>)-i% _ gtj/iïj+ia 



On tire de là 



dx [e?</')-'« — é^'^i'^'"-] = idy^^'-i'-"' + e^''i''^% 

 c'est-à-dire 



(dx - idy) e?'/''-'^ = (dx + idy) s'^-w-^'», 



011, en divisant les deux membres par f=f'/')-'T'''/', 



6'" t'-i"/" dp = e-'"" r''î"î' dq, 



et enfin, en inté£[rant et désignant par s/fi une nouvelle constante arbi- 

 traire, 



( 8 ) e'* Te-f "'' f//J - e-'"' Te-^f" dq=-2i(^, 



équation réelle encore, puisque le premier membre est la différence de 

 deux expressions imaginaires conjuguées. 



» Il convient de remarquer que l'on n'a |)as en réalité deux quadratures 

 à opérer, mais une seule, jxiisque la seconde n'est que l'expression conju- 

 s;uée de la première. Il suflit donc d'effectuer l'une quelconque d'entre 

 elles, de la multi|)lier par le facteur en a qui la concerne, et d'égaler à p le 

 coefficient de sa partie imaginaire, pour avoir l'équation finie de la bra- 

 chistochrone. 



