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(l'un dernier mulliplicateur) : 



(^) :^-Z^-^z^=i. 



du Je (ht 6*1' 



dz dv à Y àz 



» Il est clair que des systèmes (4), (5) on peut en déduire une infinité 

 d'autres (algébriques) en efTectuant sur u, v une transformation ponctuelle 

 telle seulement que le jacobien de la transformation soit algébrique par 

 rapport aux nouvelles variables u, <^. Plus généralement, on pourra rem- 

 placer l'équation (5) par la suivante : 



D(j,.)-^<"''> 



A(h,(') vérifiant un système (compatible) arbitrairement choisi d'équa- 

 tions algébriques en u. c, -^, —, V^ ' ••■" ^'^''^ - "" quelconque de ces 

 o i au Ov du' ' 



systèmes : il est évident que l'intégration d'un système 1 exige, au préa- 

 lable, celle du système (4) et (5). T.'équation (2) n'esl donc réductible que 



,,.,,,. du dv d^ii 



s il existe des équations algébriques en r, y, :■, u, c, ^. '"' J^' J^^' •■•' 



qui soient compatibles (') avec les équations (4) sans en résulter, et qui 

 forment avec (4) «n système distinct de tous les systèmes 1. Dans le cas 

 contraire, l'intégrale générale de l'équation (2) ne peut être définie par aucun 

 sysléme différentiel plus facile à intégrer que le système (4), (5) ou d'ordre 

 différentiel moindre; le groupe de rationalité de l'équation (2) est alors le 

 groupe infini 



u, = ,(u,v), .,^K"."). g{î:î^-'- . 



)> 2. Ceci posé, je vais montrer que l'équation (r) est irréductible. Si 

 Ton veut encore, au point de vue de l'intégration /or«2p//p, elle appartient 

 à la classe d'équations (2) la plus générale. En |)arliculier, il est impossible 

 qu'une intégrale première u{x, y, s) vérifie une équation algébrique en .t, j, 



- n _ , _ , ",'_",..., qm ne soit pas une conséquence de l' équation 

 ' ' dx dy dz d.r'' ' 



du du , clu,p , ^ 



_ + Z + -TZ (6,r -t- a-) = o. 



dx dv dz ^ ' 



(') J'entends par là que ces équations ont. avec (4), au moins une solution coni 

 niune (/, r, où //, c sont deux foiiclions dlsliiiotcs de ;r, y, z. 



