SÉANCE DU 27 OCTOBRE 1902. 6/(3 



» La démonstration repose essentiellement sur le théorème de M. Dracli, 

 sans lequel le problème serait inabordable. Ce théorème (combiné avec 

 l'énumération des groupes continus à deux variables qu'a donnée S. Lie) 

 conduit aussitôt à la conclusion suivante : 



et Si une équation (2) est réductible : 



» 1° Ou bien il existe un système linéaire en u(j:-, y, z) dont l'intégrale 

 n générale est de la forme u = xu, -h ^u.,-i-v [a, fi, y sont des constantes 

 » arbitraires; u,, w^ deux intégrales premières distinctes de (2)]. Autrement 

 » dit, le groupe de rationalité de l'équation (2) est linéaire, et même 

 » linéaire spécial. 



» 2° Ou bien une intégrale première a(x,y, z) vérifie le système 



» rationnel 



Ou Ou Ou 



, , àx Oy dz 



Nous allons voir que ces deux hypothèses sont inadmissibles pour l'équa- 

 tion (1). 



3. L'hypothèse 1° peut être écartée par une discussion où intervient le 

 développement d'une solution quelconque y{x) de (i) autour d'un de ses 

 pôles Xq, à savoir(') : 



( y(^) = - — î — - — ^{x - x,y - Ux - x,y 



( -\- h{x — x^y + {x — x^yi. ..), (A constante arbitraire). 



» Mais une remarque intuitive, qui m'a été communiquée par M. Drach, 

 évite toute discussion : si le groupe de rationalité de (i) est linéaire, il en 

 va de même pour l'équation 



"-r^ = 6/^ + V.X + [i (a, fi constantes quelconques) 



qui se déduit de l'équation (i) en changeant y en -^^ et x en {eux -H y) > 



et en particulier pour l'équation j''^ Gy- + [i. Or, le groupe de cette 

 dernière équation est connu, et (pour fi j^ o) peut recevoir la forme 



W, =: W, Vi — V -\- ac, (u) ■+- bM.,(u) -+- c 



(a, b, c paramètres du groupe; oj, et w^ périodes de l'intégrale elliptique 



(') Bulletin de la Société mathématique de France, t. XXVIII, 1900, p. 28. 



