SÉANCE DU 27 OCTOBIUC 1902. 645 



» Dans le voisinage d'un pôle a:; = .r„ (]ey(a;), celte équulion (10), 1res 

 analogue à une équation de Lanié, a son intégrale générale méronior()he 

 [en vertu de la formule (7)], ce qui exige [d'après (9)] que H,(x-) n'ait 

 que des pôles simples. Or, H, est de la forinu 



et, si l'on remplace j et 7' d'après (7), on voit que les pôles de H, sont au 

 moins doubles, à moins que H ne se réduise identiquement à a(x). En 

 définitive, si l'équation (1) est réductible, il existe un polynôme en y, z, 

 holomorphe en x, — à savoir \^{x,y, z) = N(a;,7, 5 )eJ''" '■'■"'■'■, — qui satisfait 

 à la condition (10), où P, désigne la fonction de x obtenue en remplaçant 

 {dans V) y et z par une solution arbitraire y{x) de (i) et sa dérivée. Toute 

 la difficulté est de montrer qu'une telle expression P n'existe pas. 



» 5. A cet effet, je change x en a.x, yen ^„, z eu —^- L'équation (i) 



devient 



(.1) g=.6j=+[i^ {'^ = o-')> 



et l'intégrale générale de (11) se laisse développer sous la forme {loc. cit., 

 p. 2.T) : 



(12) j J = JH-^ + ^■. o. - -^l^) + U l'<^'^'J'' + ^'''•' + 2a;j3=] + ':.'[...-]+... 

 f ^p -\-[i-/ + .. . (h, k constantes arbitraires). 



D'autre part, le polynôme P( multiplié par une puissance convenable de a) 

 devient 



(i3) P = Q(.r, v,s) + 'y/R(^, V, =) + a^'"'(. • •); 



Q, K désignent des polynômes en x, y, z, et Q se reproduit (multiplié 



par une puissance convenable de a) si l'on y change x en (/.x, y eu ;^, 



z en ^- Quand, dans P, on remplace/ et z par le développement (12) et 



le développement dérivé, la fonction P,(x, /«, ^^ a) ainsi obtenue vérifie 

 identiquement la condition 



('^> S = ' - ^'< [P('^" + ''^ "' - -^^ -*- f^x + ■ • •]• 



Tout d'abord, il est loisible d'admettre (comme on le voit aisément) que x 



