Gif) ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ne figure que par les puissances c'e a* dans l'égaliu^ (i3). De plus, pour 

 a = o, la fonction Q, (a^)^Q[jr, p(x + i, o, — 2h\ p' (x -t- h, o, — 2 A)] 

 vérifie l'équaLion 



(.5) '^i =^ vip{x -^ k,o, ^ ■^h)q,{x), 



équation dont l'intégrale générale (lue. cit., p. 23) s'écrit 



C,{xp'-'^-2p)-^C,p'\ 



il suit (le là aussitôt [en tenant compte de l'homogénéité spéciale de 

 OÇx, y,z)\ que Q coïncide (à un facteur niJmérique])rès qu'on prend égal 

 à l'unité) avec une des deux expressions 



ou (a-; + 27)^-27 



3 



Dans le premier cas, on a 



P. (o-, h, k, a) = h"'p'{x, o, - -ih) 4- [î(w + p) ^ ^=(. . .), 

 avec 



et Téquation (i4) entraîne la relation 



ri- n 

 (16) ^ -I2pp = I2pn+I2A"'jy/ -W". 



Le premier membre de l'équation (16) est un polynôme en ;r, p, p' ; le 

 second membre (d'après les expressions de / et de ra) est de la forme 

 iX, + 1^., >. et [j. étant des polynômes en x, p, p' , et le coefficient X n'étant 

 pas identiquement nul, comme on le vérifie immédiatement. La fonction 

 'C(a-) de Weierstrass s'exprimerait donc rationnellement en x, p, p', résultat 

 absurde. 



)) Le même raisonnement s'applique sans modification à la seconde 

 expression possible de Q. La démonstration est terminée. 



» 6. L'équation (i) est donc irréductible au sens le plus absolu du terme, 

 quant à son intégrale générale. Mais,on pourrait penser que certaines solu- 

 tions exceptionnelles y (^x) échappent à cette conclusion. 11 n'en est rien. 

 Imaginons, en effet, que l'on connaisse un système différentiel algébrique 

 (d'ailleurs quelconque) définissant certaines solutions j'(^) de(i), mais 

 non l'intégrale générale : ou bien ces solutions exceptionnelles seront iso- 

 lées, et alors elles seront sûrement algébriques (ce que l'on sait impossible) ; 



