658 ACADÉMIE DES SCIENCES 



il vient 



2 — n ( 2 — n ) * 



r ' e 2 



;t d 



et oe même 



fe-'^^i^dq 



(2 — n) \Jk 



„ 1—n 1 2 — n 1 (• ( 



r ^ e 



(2 — n) y/Â 

 » L'équation (8) devient, d'après cela, 



r ^ le l ^ J — eL2 1^^ const. , 



c'est-à-dire enfin 



r ' sin ( 9 + a ) = const. 



On obtient ainsi, comme brachistochrones, les spirales sinusoïdes d'ordre 



» Il est facile d'interpréter la condition que cette formule (i i) impose 

 aux forces. 



» Comme les courbes de niveau représentées par cette équation (ii) 

 sont des cercles concentriques, les forces F concourent à l'origine. 



» L'expression U du travail étant, dès lors, / ¥ dr, on a 



dU . . 



F = -j- = nkr" ' . 

 dr 



Le cas qui nous occupe est donc relatif aux forces centrales propor- 

 tionnelles à la puissance n — i de la distance, mais toutefois avec une 

 restriction spéciale qu'il est bien essentiel de ne pas perdre de vue. 

 » L'équation des forces vives (i) donne, en effet, 



ç-=i\] =^ 2Ar". 



Cette relation doit donc avoir lieu en particulier entre la vitesse ini- 

 tiale i'g et la distance r„ pour laquelle celle-ci se trouve imprimée au 

 mobile. On a ainsi à la fois : 



Fo = nArr, 71 = -^^^ 



