66o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» On aura ainsi pour le groupe spécial (lo^ de brachistochrones 

 arccosjD -f- arccosy := 2B. 



Pour en discerner la nature géomélrique, prenons le cosinus des deux 



membres ^^^ 



COS2B —pq— '^{'i — P' ) {'^ — T) ^ ^"^ — ??' 1 

 d'où 



( ;-— cos2B/= p p , 



et, d'après le théorème de Côtes, 



r"— 2r-cos2B + cos=2B = r^— 2r^cos2Ô 4- i, 



d'où, en réduisant, 



2/--(cos20 — C0S2B) = sin°2B, 



/•==[(cos'9 — sin='0) - cos2B(cos=6 -h sin=6)] =isin='2B, 



/•=cos=6(i — COS2B) -7^sin=e(i + cos2B) = 2sin=Bcos=B, 



et enfin 



•'- — — I . 



co 



s^B sin-B 



On voit que la somme des dénominateurs est égale à l'unité, c'est-à-dire au 

 carré de la distance du centre à chacun des deux foyers fixes. Par suite 

 cette première famille de brachistochrones est formée des hyperboles 

 homofocales aux lemniscates. 



)> La seconde (9) comprendra, d'après le théorème 6, leurs trajectoires 

 orthogonales, c'est-à-dire les ellipses qui admettent encore les mêmes 

 foyers. Enfin tous les autres groupes seront formés des trajectoires de ces 

 coniques homofocales sous un angle constant quelconque. 



« Il reste à déterminer la loi qui régit la force dans le cas que nous 

 venons de traiter. 



» Nous connaissons déjà sa direction, qui est normale aux lemniscates, 

 et par suite tangente aux hyperboles équilalères concentriques qui passent 

 par les foyers de ces courbes. 



)) On a d'autre part pour son intensité 



F==-(5ï-) +UJ ==UJ +Uj. 

 _ /dU _ dvy _ /du _ ^y 



~ [d]'? '^ dq) [dp dq ) 



_ , dU_ dU __ p q ^ r^^ 



— "* dp dq ~ y/(i — /5^) (i-g-2) Pp'' 



