SÉANCE DU 27 OCTOBRE 1902. 661 



et en6n 



La force varie donc à la fois proportionnellement à la distance au centre 

 et en raison inverse de la moyenne géométrique des distances aux deux 

 foj'ers. 



» Elle est d'ailleurs dirigée de l'intérieur à l'extérieur des lemniscates, 

 puisque l'expression du travail est positive. 



» Quant à la condition spéciale imposée aux données initiales, elle dérive 

 de l'équation (i) : 



i>^ — 2U = 2pp'. 



» On a donc à la fois 



F„ 



d'où, en éliminant popj,, 



v/poPo 



' n 



2pOpo 



» Exemptée III. — Prenons enfin, pour fonction des forces, le carré de 

 celle de l'exemple précédent 



U = P^p'^-(/>=-i)(y -I). 



/"-'"■*-/;;*T-i'-s(;T^)- 



)» La première famille (10) de brachistochrones aura pour équation 



2B ^ i \.OoU--) + - \^O.i'i^ , 



d'où 



4B ^ (P — ')(?-') ^ fl 



(y9-hi)(^ + i) p'=' 

 et enfin 



l_ _ ^28 



p'" 



Elle est donc formée des cercles qui sont les lieux géométriques des 

 points dont le rapport des distances aux deux foyers fixes reste constant. 



» La seconde famille (9), qui est constituée par les trajectoires orthogo- 

 nales des précédentes, comprend d'après cela les cercles qui passent par 

 les deux foyers fixes. 



