6^6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions algébriques. 

 Note de M. Ludwig Schlesixger, présentée par M. Poincaré. 



« Le problème de déterminer une fonction algébrique y de la variable 

 complexe ce, uniforme sur une surface R de Riemann donnée, a été 

 traité par Riemann lui-même à l'aide du principe deDirichlet et, plus tard, 

 par MM. Schwarz et Neumann par d'autres méthodes transcendantes. Je 

 me propose de donner une solution purement algébrique dudit problème, 

 en poursuivant une méthode que j'avais indiquée autrefois (Journal de Crelle, 

 t. 105) pour un cas particulier. 



» Soit R une surface de Riemann à m feuillets et aux points de ramifica- 

 tion a,, . . ., a^ que nous supposerons tous simples ; il s'agit de déterminer 

 les coefficients de l'équation 



(i) F(x,y):='^y^Aa^^-y"'~'<=o (Aa=i), 



de telle façon que la fonction y de x définie par cette équation soit uni- 

 forme sur R. Le discriminant Q de l'équation (i) par rapport à y sera un 

 polynôme de degré ■2(111 — i) des A^^) et de degré 2v(//2 — i) en a;. D'ailleurs, 

 on doit avoir 



(•-i) Q=^{cc-a,)...(x-a,)\\ 



X étant un polynôme de degré c? ^ (m — 1) (v — i) — yo en x, où le 

 nombre/?, défini par l'équation a — im = 2/? — 2, désigne le genre de la 

 surface R. En comparant dans les deux membres de l'équation (2) les 

 coefficients des mêmes puissances de x, on obtient un système de 

 2v(m — i) -I- I équations pour les (m 4- i) (v + i) — i coefficients A^ et 

 les d -\- i coefficients de X; dans ce système, que nous désignerons 

 par (M =0), le nombre N = 2Wv — p -\- 'i des inconnues surpasse donc 

 de 2v — /?+ I celui des équations. Suivant le procédé indiqué par Kro- 

 necker au § 10 de sa Festschrift, décomposons le système (M) = o en fac- 

 teurs de divers rangs (Stufe). Nous cherchons une fonction y uniforme 

 sur R, qui reprend m fois chaque valeur; cette fonction doit donc con- 

 tenir 2v— ^-f- I paramètres arbitraires. Nous n'avons donc besoin de 

 nous occuper que du facteur de rang N — 2v -\-p — i du système (M) ^^ o, 



