SÉANCE DU 27 OCTOBRE 1902. 677 



facteur que nous désignerons désormais par (M') = o. Dans le domaine de 



rationalité déterminé par les a a^, considérées comme variables 



indéterminées, décomposons (M') = o en facteurs irréductibles (MJ) = o, 

 (M") = 0, . . .; chacun de ces facteurs définit les N inconnues et en parti- 

 culier les kk\ comme fonctions algébriques des a,, . . ., «<j, contenant 

 encore 2v — yo-t- i paramètres arbitraires, que nous regarderons comme 

 fixées une fois pour toutes. D'après le théorème dePuiseux généralisé, les 

 diverses solutions k% d'un facteur irréduclible(Mj) = o proviennent l'une 

 de l'autre en faisant décrire aux a,, ..., a^ tous les chemins fermés pos- 

 sibles. En formant l'équation (i) avec les A*" comme coefficients, il faut 

 qu'au moins une de ces équations soit irréductible, car, autrement, il n'y 

 aurait pas d'équation irréductible de degré m et à <j points de ramification 

 simples quelconques, ce qui est absurde. Formons une telle équation 

 F„(.r, y a) = o, eu choisissant pour coefficients un système de détermina- 

 tions uniformes des A^x, et soit R„ la surface de Riemann appartenant à cette 

 équation. En faisant décrire aux a,, .... cr^ tous les chemins fermés pos- 

 sibles, l'équation F^^ o sera changée en des équations F, = o, ..., F^= o, 

 et la surface de Riemann correspondante en B,, ..., R^, toutes ces surfaces 

 provenant l'une de l'autre par monodromie des points de ramification. Si l'on 

 applique les résultats de mon Mémoire (Jo;^r«a/ de Crelle, t. 12i, p. 292) 

 aux surfaces de Riemann, résultats qui, dans ce cas particulier, sont d'ac- 

 cord avec ceux obtenus par M. Hurwitz dans un Mémoire antérieur 

 {Mathem. Annalen, t. XXXIX), on reconnaît que toutes les surfaces de 

 Riemann à m feuillets et ayant les points a , a^ j>our points de ramifi- 

 cation simples proviennent l'une de l'autre par monodromie des pointsde 

 ramification. Il faut donc que la surface II, donnée d'avance, se retrouve 

 entre les surfaces R,, . . ., R^et, par suite, qu'une des équations F, =0, ..., 

 Fy= o appartienne à la surface R; le problème proposé est donc résolu. 



M Mais il s'ensuit de cette résolution qu'au point de vue algébrique il 

 soit indispensable de considérer non une surface de Riemann R spéciale, 

 mais à la fois toutes les surfaces R,, ..., R^ provenant de R par mono- 

 dromie des points de ramification, c'est-à-dire que, au lieu d'examiner, 

 comme le fait Riemann, la fonction j appartenant à une surface R donnée, 

 il faut envisager l'ensemble de toutes les fonctions j,, • . ., J^ appartenant 

 aux diverses surfaces R,, . . ., R^. Cet ensemble constitue une seule fonc- 

 tion monogène, si on la regarde comme fonction des a -+- i variables 

 X, a,, ..., a„, car toutes les j,, . . ., y^ et ces fonctions seules proviennent 

 de l'une d'entre elles, en faisant varier de toute manière possible ces c -+- 1 



