SÉANCE DU 3 NOVEMBRE 1902. 73 I 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transcendantes Uniformes définies 

 par les équations différentielles du second ordre. Note de M. R. Liorvii-Li: . 



« Dans une Noie présentée à l'Acaflémie le 8 septembre dernier et qui, 

 par suite de circonstances particulières, n'est venue sous mes yeux que 

 tout récemment, M. Painlevé s'est attaché à démontrer que l'analyse que 

 j'avais indiquée, pour l'étude de certaines équations différentielles du 

 second ordre, est illusoire. 



» M. Painlevé m'attribue cette conclusion : les équations 



pourraient être remplacées algébriquement par un système 



(f-Y I d:\ . d-z „/ d: 



(-) U = ''{'•' y--' Z-r)' Z^=Q(^-^''^'^ 



dont les équations intégrales peuvent être mises sous forme linéaire à 

 l'égard des constantes arbitraires. 



» Il suffit de lire ma Note du i*''' septembre pour s'apercevoir que le 

 mot algébriquement ne s'y trouve pas, en sorte que iM. Painlevé peut, sans 

 me toucher en rien, regarder comme illusoire une conclusion qui n'est pas la 

 mienne. 



» M. Painlevé insiste sur le nombre des fonctions arbitraires que com- 

 porte l'intégration générale du système (2), tel que je l'ai voulu construire. 

 Celle circonstance est tout à fait analogue à celle qu'on rencontre pour les 

 intégrales d'un système diflérenliel quelconque; elle n'a rien qui s'oppose 

 à la recherche d'un système (2), algébrique ou dépendant de transcen- 

 tlantes déjà connues, s'il en existe un. 



» Celte recherche, à laquelle faisait allusion la fin de ma Note du i" sep- 

 tembre dernier, n'est pas encore terminée. J'ajouterai que la question dont 

 je me suis occupé ne coïncide pasavec celle qui a été traitée dans une Note 



récente. 



» Pour préciser, il n'est ni démontré, ni vraisemblable, que toute équa- 

 tion irréductible, au sens de M. Drach, adopté par M. Painlevé, le soit 

 aussi au point de vue que j'ai voidu étudier. 



» Il s'agit, dans le premier cas, de savoir s'il existe entre les variables, 



