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» Quelque forme ([ii'il donae à sa proposition, M. Lioinitle n'a le choix 

 qu'entre un truisme (évident pour n'importe quelle équation différentielle) ou 

 une erreur. 



» J'arrive maintenant à quelques propriétés de l'équalion (i) qui 

 découlent de son irréductibilité. 



» 2. De l'intégrale de l'équation (i ) considérée comme fonction des con- 

 stantes. — Soient a^, v^,, ;,, les valeurs initiales qui définissent une solu- 

 tion y(jc) de ré(]nation (i). J'ai montré (') que j(a) est le quotient de 

 deux fontions e«^«'e>« H, R dea;, a-„, y,,, r„; ces fonctions sont représen- 

 tables par des séries de polynômes en a-, r,,, \\, :-^, séries qui convergent 

 pour toutes les valeurs des variables et dont les coefficients s'obtiennent 

 par des dérivations successives effectuées sur (i). Une conséquence immé- 

 diate de madernicre Communication, ceslqxnt la fonction y regardée comme 

 fonction de y„ seul (ou de :■„) ne vérifie aucune équation différentielle algé- 

 brique. La même proposition s'applique à :-, ainsi qu'aux fonctions en- 

 tières H, R. Voici donc, introduites par la théorie même des équations 

 différentielles, des fonctions méromorphes telles que y = o(j„), ou holo- 

 morphes, telles que H(j„), qui, de même que la fonction T, sont « trans- 

 » cendentallv transcendental », j'entends ne satisfont à aucune équation 

 différentielle algébrique (d'ordre si élevé qu'elle soit). D'une façon plus 

 précise encore, soit y = ç(a-,a-„, _}■„, ;„ ), z ^ij(x,x^^, y^,z^) l'intégrale 

 générale de (i), où nous donnerons à x„ une valeur numérique a : les 

 fonctions jy, z de a-, y„, :;„ vérifient le système 



^ ^ dx "" dx -^ ' . dY„ dzt, d:„ djo 



^ , , 1 ■ ■ à^' ày ày à: Oz dz à- y 



» Toute équation al^ebnque en x, y,z, -t— » -f ' :5~ ' x~' tt' 'â~ ' T7^' ' ' '' 

 " o / '" Ox oj\ dz„ dx dvo oz„ OJ.- 



analytique en y„ , s „ , que vérifient les fonctions 



y= o{x,a, y„,z„), z = i(a, a, y^, ;•„), 



est une conséquence des équations (2). 



« Une conclusion analogue s'applique si l'on remplace y,,, ;„ P»'' ^les 

 constantes quelconques, liées analytiquemenl àj», =„. 



)) 3. De la représentation de y(x) à l'aide de fonctions entières. — Une 

 intégrale quelconque j(a') de (i) s'exprime (loc. cil.) à l'aide d'une fonc- 



(') liidlelia de la Société mathàinalique de France, l. XXVIII, 1900, \). 48. 



