SÉANCE DU lo XOVEMBRi; 1902. 759 



tion entière /-(-î*) sous la forme : 



(3) j(.r)A''^I^ = --V. 



la fonction v.(.v) vérifiant l'équation du troisième ordre : 



//'- — /|r," — ixr,' — 2r, = o, avec r, = 



» Le genre, le mode de croissance pour a- = 20 de la fonction /. sont 

 aujourd'hui connus. Une solution y{x) étant définie par des conditions 

 initiales données a-,,, r,,, ?„, si l'on se propose de la calculer dans un cercle 

 donné avec une approximation donnée, on sait limiter le nombre de termes 

 qu'il faut prendre dans la série entière qui représente /. pour que la for- 

 mule (3) fasse connaître r{r) avec l'exactitude imposée. L'intégration 

 de l'équalion (i) est donc ainsi effectuée d'une façon parfaite à l'aide de la 

 fonction entière ■/,. Mais il est naturel de se demander s'il n'existe pas de 

 représentation analogue plus simple, j'entends une représentation à l'aide 

 d' une fonction entière que vérifie une équation différentielle d'ordre moindre 

 que 3. D'une façon précise, est-il possible d'exprimer 7(3;) algébrique- 

 ment à l'aide de X, Yi{x), W(x), oîi H(^) désigne une fonction entière 

 qui vérifie une équation difféicutielle (algébrique) du deuxième ordre 

 (au plus)? Je vais montrer que la chose est impossible. 



» Tout d'abord on voit aisément que, si une telle représentation existe, 

 l'équation que vérifie H ne peut être d'ordre moindre que 2, et ensuite 

 qu'une certaine expression algébrique A(.r, j, z) devient une fonction en- 

 tière A, de X quand on y remplace y par une solution quelconque y{x) de (1) 

 et z par sa dérivée. Une telle expression A ne peut être d'ailleurs qu'un 

 polynôme en y, z ; autrement, la relation algébrique ?){x,y, z) = o, qui 

 définit les singularités (critiques ou polaires) de A, serait une intégrale 

 première particularisée de (i), ce qu'on sait impossible. Ceci posé, chan- 



Y Z 



eeons, dans A, v en - et = en -,-; A prend la forme 



^[A„(a;, Y,Z) + aA„_.(.ï-. Y,Z)+...j, 



A„ désignant un polynôme en Y, Z qui se reproduit multiplié par — quand 



on V change Y en -, et Z en , • Je conviens d'appeler n l'ordre de A. Tous 

 les polynômes en v, z d'ordre « sont des combinaisons linéaires (à coelfi- 



