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cients arbitraires en ce) d'un nombre fini q d'entre eux, soit B,, B,, ..., By. 

 » Si maintenant je tais le nouveau cliangement de variable x — xX-h^, 

 l'équation (i) devient 



et l'expression A prend la forme 



^^ I A„(^. Y. Z) + -/(-...)]. ' 



» Par hypothèse, A„(p, Y, Z) doit être une fonction entière de X quand 

 on y remplace Y et Z par p(X, o, //) et p'(X, o, h) et, par suite, doit se 

 réduire à une constante; autrement dit, A„(^, Y, Z) est une intégrale pre- 

 mière de l'équation (4) pour a = o, et (en vertu de son homogénéité spé- 

 ciale) coïncide avec une expression de la forme 



a(P)(Z=-4Y^)"' {n^6m). 



On voit ainsi que A(.r, j, z) peut s'écrire 



A = a(a;)(..^ - 4j=r-f- B(.r, r, c), 



B étant d'ordre (n — i) au |)lus. Si maintenant on calcule-^; on trouve 

 aussitôt 



-^ = ■2mz.xa{x)(z'-- /iy')""< + a'(x)(z^- ^ liy^y 



A' étant un polynôme en y, z d'ordre n au plus. Comme -— est holo- 



morphe en même temps que A,, on peut raisonner sur A' comme sur A, et 

 ainsi de suite q fois. On forme ainsi (y + i) équations dont les premiers 



membres sont A,, -j-^. •■■■> -~j—^> et dont les seconds membres sont de la 

 ciic dxi 



forme : a,(,r)B, +. . .+ a^{x)^^+ rt^^,(a-). En éliminant lesB, on obtient 

 une équation différentielle linéaire que vérifie A, (a-), résultat absurde, 

 car il entraîne presque immédiatement cette conséquence quej'(a') ren- 

 fermerait algébriquement ses constantes. -5 C.Q.F.D. 



» Le raisonnement, à peine modifié, conduit même à ce théorème plus 

 général : Il est impossible d' exprimer V intégrale générale y{x) de (i) sous la 



x,}\, ~Y OÙ y désigne une fonction algébrique de H, ^i 



