782 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Si 



1.2, 



(i) i>\f^ ^ ^-iA.t-/ jf- (^ = 1 , 2, ^. ., a^) 



i,k 



sont les r transformations infinitésimales de G, les a désignant des fonc- 

 tions des j, la méthode consiste à introduire /• expressions de PfafF auxi- 

 liaires cj, , n.,, . . ., Ur et des coefficients A,^, définis par les covariants bili- 

 néaires des to, 



s = l r 



(2) t'V =2 -^,7<","V + "^ 5'-M.oj,(o, (X: = 1 , 2 n). 



i.î 1 = 1, ...,n 



M Les A,y;i sont alors transformés entre eux par le groupe considéré, ce qui 

 permet, par la considération des formes réduites, de réduire, dans certains 

 cas, le groupe G à l'un de ses sous-groupes et peut conduire aussi à de nou- 

 velles fonctions invariantes àex. Lorsque aucune de ces réductions n'est 

 plus possible, le problème de l'équivalence est résolu si le groupe G final 

 satisfait à certaines conditions numériques qui se rattachent à la théorie 

 des conditions d'involution d'un système de Pfaff à n variables indé- 

 pendantes. 



» Si le groupe G ne satisfait pas à ces conditions, on raisonne sur le 

 système des n -\~ r expressions de Pfaff 



dont on met les covariants bilinéaires sous une forme analogue à (2), le 

 groupe G étant remplacé par un nouveau groupe à r -h r paramètres qui 

 introduit r' nouvelles expressions de Pfaffauxiliaires y,, ..., y/, et ainsi de 

 suite. Ces opérations ont une fin et les formules finales indiquent le degré 

 d'indétermination de la transformation qui transforme l'un dans l'autre 

 deux systèmes équivalents. 



» Si les équations finies du groupe linéaire primitif G sont connues, le 

 problème général est obtenu sans intégration. 



» Si le groupe final se réduit à la substitution identique et si, pour fixer 

 les idées, aucun invariant ne s'est présenté, chacun des systèmes étudiés 

 admet un groupe fini dont la structure est donnée par les constantes A,^^ et les 

 constantes analogues. 



M Si le groupe final ne se réduit pas à la substitution identique, chaque 

 ivstème admet un i;roupe infini et les formules (2) et analogues />e/7we//e«/ 



