SÉANCE DU to NOVEMBRE U)02. 7^^ 



aussi de définir la structure de ce groupe infini; c'est un point important sur 

 lequel je me propose de revenir dans une prochaine Noie. 



Comme conséquence importante, je signalerai le théorème suivant : 

 ,, Si un système d'équations aux dérivées partielles admet des caractéristiques 

 dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires, on peut, sans intégra- 

 tion, ramener la détermination de ces caractéristiques à l'intégration d'un 

 système d'équations différentielles de Lie associé à un groupe de structure 

 connue, à supposer toutefois que le système donné n'admette pas de groupe 



infini. 



» Par exemple, les systèmes en involutiou de deux équations aux déri- 

 vées partielles du second ordre à une fonction inconnue de deux variables 

 indépendantes dont les caractéristiques n'admettent aucune intégrale pre- 

 mière de la forme 



¥(x,y, z, p, r/) = const., 



n'admettent jamais de groupe infini de transformations (en x, y, z,p, q). 

 Le plus grand nombre fini qu'un tel système puisse admettre est le groupe 

 simple à i4 paramètres qui a été signalé par M. Engel et moi; sinon d 

 admet au plus un groupe à 7 paramètres, qui est intégrable. Dans ces 

 deux cas la solution générale dépend de 



-, f{^y f'i^h n^'h j\f"\-)^ii"''(-)+"'f'i-)\'^''-' 



a désignant une variable auxiliaire,/(a.) une fonction arbitraire de a. Dans 

 le premier cas, /et m sont nuls; dans le second cas, ce sont des constantes 

 qui n'interviennent d'une manière essentielle que par la combinaison -• >> 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur certaines égalités remarquables. 

 Note de M. W. Stekloff, présentée par M. E. Picard. 



« 1 Au début du Mémoire de M. Hurvvitz, qui vient de paraître dans le 

 dernier Cahier du .Journal de l'École Normale (septembre 1902), j'ai trouvé 

 une démonstration nouvelle de la formule suivante : 



^i) irf'{x)dx^ibl + ^{al+bly 



