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I r^'^ 

 ^« = ^ / /(^) cosnx dx, 



ayant lieu, quelle que soit la fonction /(a;), bornée et intégrable dans l'in- 

 tervalle (o, 27t). 



» Je me permets de remarquer d'abord que cette formule a été établie 

 pour la première fois par M. Liapounoff en 1896 (<), comme je l'ai déjà 

 signalé dans ma Note Sur un problême de la théorie analytique de la cha- 

 leur {Comptes rendus, 4 avril 1898). Voir aussi mon Mémoire Sur /e^/onc- 

 tions harmoniques de M. H. Poincaré {Annales de Toulouse, 1901, p. 290). 



>> J'indiquerai ensuite que diverses égalités, analogues à celle de M. Lia- 

 pounoff, résultent immédiatement d'un théorème général que j'ai démontré 

 dans mon Mémoire : Problème de refroidissement d'une barre hétérogène 

 {Annales de Toulouse, 1" série, t. III, 1901). 



« 2. Soient p &l q deux fonctions de la variable réelle x, continues et 

 positives dans l'intervalle àe x = a k x = b{b^ a). Supposons que/; ne 

 s'annule pas dans cet intervalle. Désignons par k„{n = i, 2, 3, . . .) une 

 suite de constantes déterminées positives ne dépendant que de p, q et de 

 l'intervalle {a, b); par V„(/i = i, 2, 3, . . .) une suite de fonctions corres- 

 pondantes vérifiant les équations 



V'I + {k„p - y) V„ = o, a < a: < è, 

 jointes aux conditions 



fpYldx = i, 



"J a 



V'„(«) - hN„{a) = o, VK^-) + HV„(6) = o, 

 A et H étant des constantes positives. 



» Dans le Mémoire cité (p. 3o6), j'ai énoncé la proposition suivante : 

 Quelle que soit la fonction/, continue dans l' intervalle {a, b), on a toujours 



/ pp dx = 21 ^« ' K= f pf\n dx. 



(') Communications de la Société malliématique de Kharkow {Extrait des Pr, 

 verbaux, t. VI, n° 6; séances des i3 décembre 1896, 20 janvier et 7 mai 1897) 



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