SÉANCE DU 17 NOVEMBRE igO'Z. 8/49 



aux conditions tout à V heure énoncées, on a toujours 



p^'^dx=^kt,^u + ',n kk= PfVkdx, B,= pàY„dx, 



OÙ [voir mon Mémoire : Problème de refroidissement, etc. \ Annales de Tou- 

 louse, 190 1, p. 3o5 et 3oG)] 



Kà / / .Wx 



» Il importe de remarquer que la démonstration de l'égalité (\) ne dépend 

 nullement du théorème de Weierstrass-Picard sur le développement des fonc- 

 tions en séries des polynômes. 



» Posons maintenant 



"in =f —^^k^k, ^k= f Pf^k (Ix, 



en désignant par f une fonction quelconque, continue dans l'inter- 

 valle (a, è). 



» Il est évident que (p„ satisfait à l'inégalité 



Ç 'rnd^<^ Ç Prnd^<^{^ ["r^dx^QK 



J„ Po J„ Pd J„ 



p, etpa désignant le maximum et le minimum de pÇx) dans l'intervalle 

 donné, Q étant un nombre ne dépendant pas de l'indice n. 



» Désignons par a et p (p^a) deux nombres quelconques, compris 

 entre les limites a et b, et considérons l'intervalle (a, p) qu'on peut repré- 

 senter géométriquement par un segment a^ de l'axe des x. Désignons 

 par AB le segment correspondant à l'intervalle donné (a, b). On peut 

 toujours construire une fonction i|/, continue avec sa dérivée du premier 

 ordre en tous les points du segment AB, égale à zéro pour 



a<x^v., ^Sx<b 



et restant positive en tous les points du segment a^. 



» Cela posé, appliquons la formule (i) aux fonctions tj' et ip„. On 

 aura 



/ P'^O^ndx— f pijJJndx 



