85o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



d'où, en tenant compte du théorème de la moyenne, on tire 



(p„(i)/ ;><}-c?a;:==<p„(^)M = /-„, 



l désignant un point, situé à l'intérieur du segment afl. Désignons par m 

 le minimum, par W le maximum de toutes les valeurs des intégrales 



■ -j. "^ 1 



corresponrlant aux diverses positions possibles du même segment a^ à l'in- 

 térieur du segment AB. On aura, en tenant compte de (2), 



l..(5)l<^- 



Cette inégalité a lieu, quel que soit le nombre de n; en le choisissant con- 

 venablement, on trouve 



(3) l?«(^)l<- 



e étant un nombre positif, donné à l'avance. Il existe donc un point l, 

 intérieur au segment ô^, quelle que soit sa position à l'intérieur du segment 

 donné AB, tel que le module de cp„(.î) en ce point sera plus petit qu'un 

 nombre s, donné à l'avance. Considérons une position quelconque du 

 segmenta^; supposons qu'il subisse un déplacement continu suivant l'axe 

 des X. Le point l, correspondant à chaque position du segment aJ^, |e 

 subira également, car ©„ est une fonction continue. Lorsque le segment afl 

 prendra la position ^^, le point l se déplacera de ^ à un point E, situé à 

 l'intérieur de ^, et passera par tous les points du segment ^^,. Il s'ensuit 

 que le module de cp„(a;) doit rester inférieur au nombre j pour tous les 

 points de l'intervalle ËË^, puisque l'inégalité a lieu pour toutes les positions 



du segment afi sur l'axe des x. 



» En continuant les mêmes raisonnements et en remarquant qu'ds 

 restent vrais quelle que soit la grandeur du segment aji, nous nous assu- 

 rerons aisément que l'inégalité (3) a lieu pour tous les points de l'uiter- 

 valle donné ÂB. On obtient ainsi le théorème suivant : 



>, Théorème. — On peut irouyer une suite finie 



^„ = A, V. -+- A, V2 -h . . . -i- A„ V„ 



