SÉANCE DU 17 NOVEMBRE 1902. 853 



les CTx désignant p nouvelles expressions de Pfaff. Les Qa^ et- les v-n, sont 

 encore des constantes. Si le groupe est intransitif, il en est de même, sauf 

 que les coefficients c et a peuvent être des fonctions des invariants du 

 groupe. 



)) Ces quantités c et a ne sont d'ailleurs pas arbitraires. Je n'énonce pas 

 les conditions nécessaires auxquelles elles doivent satisfaire ; je me contente 

 de signaler ce fait important que les p transformations infinitésimales 



=>lis^'^i 



PL 



(>— I. 2, ..., p) 



forment un groupe linéaire G que nous disons associé au groupe infini 

 considéré. 



» D'ailleurs le système (w,, ..., o^) n'est pas unique; mais il est très vrai- 

 semblable, et cela est certain pour les groupes transitifs simples dont il 

 sera question plus loin, qu'il existe une valeur minima de /• et un système 

 unique déterminé d'où tous les autres peuvent se déduire par des procédés 

 simples. Ce nombre minnnum r définit Yordre du groupe. 



» Pour les groupes infinis il y a une différence essentielle, au point de 

 vue de la structure, entre les groupes transitifs et les groupes intransitifs. 

 Certains groupes inlransitifs ne sont isomorphes à aucun groupe transitif : 

 par exemple le groupe 



x'=x, y' = y-A-f{x). 



» D'une manière plus précise, considérons le système 



y^a.xis^i=o ().= I, ..., p; 5 = I, 2, ..., r) : 



i 



Ce système est complètement intègrable; ceux des invariants du groupe qui 

 sont des intégrales de ce système ne peuventpas être éliminés; les autres 

 peuvent l'être sans changer la structure. 



» Il se produit alors ce fait remarquable que, tandis que la structure des 

 groupes transitifs ne dépend que de constantes, celle des groupes intransitifs 

 peut dépendre, en outre, de fonctions ; je citerai les deux groupes suivants : 



(3) x' = x, y'=f{y), "=4/'0')]"+?(^'7); 



(4) x':=x, y=yf{oc) + '^{x), z'^zy{x)Y+^{x). 



» Les applications que l'on peut faire des groupes à la recherche des 



c. R., 1902, 2* Semestre. (T. CXXXV, N° 20.) ' I- 



