SÉANCE DU 24 NOVEMBRE I902. 889 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions monodromes à point singulier 

 essentiel isolé . Note de M. Edmond Maillet, présentée par M. Jordan. 



« On peut toujours, grâce à un changement de variables, faire en sorte 

 que ce point critique soit co. 



» Soit donc F (s) une fonction monodrome dans une région R compre- 

 nant tous les points du plan des z à l'extérieur d'une courbe fermée r con- 

 tenant l'origine ( ' ). On a dans R, d'après la série de Laurent, 



ç(M restant fini dans R, ainsi que ses dérivées et tendant même vers o, 



avec -) (po(^) étant une fonction entière. 



M II est naturel de classer la croissance de F(g) comme celle de 90 (^)- 

 F et (p seront en même temps d'ordre fini on infini pour ^ := ce. Nous dirons 

 que F(:;) est une fonction quasi-entière dans Rpour z ^ yz. 



» On obtient alors, en appliquant à F (s) des raisonnements semblables 

 à ceux de la théorie des fonctions entières, les résultats suivants : 



» I. On a dans R 



F(.-)=.cp(i)+?„(.) = ^'^Q(s)e')'<=) 



oîi k est un entier nul ou positif, Q(-) une fonction entière, '|(-) une 

 fonction monodrome et finie dans R. 



» F, tpo, Q sont simultanément d'ordre fini ou infini. 



» II. I^a contiilion nécessaire et suKisanle poin- que la croissance 

 de F(r), supposé d'ordre fini pour s ^ co, soit régulière, pour 5 = co, est 

 que la distribution de ses zéros soit régulière aux environs de ce point; il 

 en est alors de même pour 9,, (2). 



» III. Supposons que F(s) soit réelle, d'ordre ^2 pour j3 = ce, et n'ait 

 dans R qu'un nombre limité de racines imaginaires. 



» Si F(z) a une infinité de racines réelles, il en est de même de sa 

 dérivée, et, dès que (:;) dépasse une limite déterminée, entre deux racines 



(') On peut également le supposer grâce à un changement de variables. 



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