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de r(-) il y a une et une seule racine réelle de F' (s) : de plus F'(-) n'a 

 qu'un nombre limité de racines imaginaires. 



))• Si la fonction F(i;)n'a qu'un nombre limité de racines, la dérivée a un 

 nombre limité de racines. 



» IV. Si F est d'ordre p et donné, parmi toutes les fonctions Fç — ç, où 

 tp et (p, sont des fonctions quelconques de même nature mais d'ordre < p, 

 il y en a une au plus d'ordre réel inférieur à p. 



» Parmi les équations F — - ~ o il y en a une au plus telle que l'expo- 

 sant de convergence de la suite de ses racines soit inférieur à p. 

 » V. Si F est donné et tel que 



F < /'■■" 



{m constante) pourr= 1:;|, et si (p, cp,, A, i, sont des fonctions d'ordre 



fini dans R telles que 



çA, — ij/©, ^ o, 



les deux fonctions <pF — 9,, |F — |, ne peuvent être toutes deux d'ordre 

 réel fini que si F est d'ordre fini. 



)i Parmi les équations F = — > où F est donné et d'ordre infini, il y en a au 



plus une telle que la suite de ses racines ait un exposant de convergence 

 fini. 



)) On retrouve ainsi, dans les deux cas particuliers que l'on peut consi- 

 dérer comme les plus importants, un ihéorèmeremarquable de M. Picard ('), 

 sur les racines d'une fonction monodrome aux environs d'un poinlessentiel. 



» VI. Une fonction quasi-méromorjihe $ dans R pour z = co (c'est-à-dire 

 qui n'y a que des zéros et des pôles en dehors de 00) est le quotient de 

 deux fonctions quasi-entières dans R pour z = c^. 



» L'ordre de $ sera le plus grand dos ordres de ces deux fonctions. 



)) VII. Parmi toutes les fonctions <î> — o d'ordre fini p, © étant une quel- 

 conque des fondions analogues à 4>, mais d'ordre < l'orilre p de <I>, il 

 y en a une au plus d'ordres réels tous inférieurs à ceux de $, deux au 

 plus telles que les exposants de convergence des suites des modules de 

 leurs racines soient inférieurs à p (^). 



(') Traité cT Analyse, t. III, p. 3iJ6. 



(-) Comp., pour tout ce qui précèrle, Borel, Leçons sur les fonctions entières 

 (Paris, 1900) et Annales de l'École Normale, 1901, p. an, et notre Comiiiunicalion 

 du 17 février 1902. 



