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nables. L'ordre périodique reste inaltéré jjar toute substitution linéaire à 

 déterminant différent de o. 



» Soient maintenant a,, a.,, . . ., a„, n nombres réels non nuls que j'ap- 

 pellerai des périodes; les périodes seront dites indépendantes s'il n'existe 

 aucune relation de la forme 



— -}- — +...+ —= o, 



dans laquelle )i, , >.^, . . ., "X,, désignent des coefficients rationnels positifs ou 

 négatifs. 



)) Si a^, Oo, . . ., a„ sont des périodes indépendantes, je dirai que la pé- 

 riode a appartient au corps de ces périodes, quand elle est dépendante 

 avec a,, «„, ..., a„. L'ensemble des périodes a définit un corps périodique 

 d'ordre n. 



» Si a^, f/o, . . ., «„ sont des périodes dépendantes, on peut toujours les 

 considérer comme des éléments d'un corps d'ordre/? <| n. 



» Soient a,, a,» • • •» <^n» ^^ périodes indépendantes ou non, je dirai que 

 x^, x^, . . ., Xn définissent un. élément du champ absolu des périodes, s'il 

 existe un nombre x et des entiers m^, rriç,, . . ., m„ vérifiant 



X -h m,a,r= X,, X -h m., a^ = x.,, . . . , x -h 7n„ «„ = .r„. 



» Le champ absolu est un ensemble d'éléments dont les éléments 

 limites constituent le champ total, et j'établis le théorème suivant : Si les 

 périodes a,, a.,, . . ., a„ sont indépendantes, le champ total se compose de toits 

 les points de l'espace à n dimensions; en d'autres termes, x^, x^, . ■ ., x„ 

 étant arbitrairement choisis, on peut trouver x et des entiers m^, m„, . . ., 

 m^, tels que les différences 



x + m^a^ — x^, x + m.;^a^— x^, x -h m^an— x^ 



soient aussi petites que l'on veut. Si a,, «o, . . . , a„ sont dépendantes, ces 

 différences ne peuvent être rendues infiniment petites que s'il existe entre 

 X,, x„, ..., x,^ certaines relations linéaires qui se déduisent aisément de 

 celles existant entre les périodes. Dans tous les cas, le nombre des variables 

 X,, Xç,, ..., x„ qui peuvent être arbitrairement choisies est égal à l'ordre du 

 corps des périodes a, , a,. • • • . o„. 



» (Jcci posé, soient /(a-) une fonction continue pour toute valeur x ; a,, 

 a^, ..., a^ des périodes indépendantes ou non ; a;, j o;,, . . . , a;„ un élément 



