SÉANCE DU 24 NOVEMBRE 1902. 898 



quelconque du champ total. Par hypothèse même, les différences 



a.- -f- /M, «, — .r, , . . ., oc -h rn,^a„ — x„ 



peuvent êlre rendues infiniment petites. 



» Nous dirons quej (x ) est une fonction quasi-périodique si, étant donné 

 s aussi petit que l'on veut, on peut trouver S tel que, sous les conditions 



I a? -h TO, a, — a;, I < ^, .... |a; + m„rt„— a7„|< ^, 

 on ait 



\/(x)-h(x,,x,, ...,a;„)|<e, 



et cela pour tous les éléments du champ total. Le nombre L, s'il existe, est 

 donc une fonction de l'élément du champ total : c'est une fonction de 

 p variables indépendantes si le corps des périodes a est d'ordre p, elle est 

 d'ailleurs périodique par rapport à chacune des variables a?,, œ^, . . ., x^ et 

 vérifie l'identité /(a7) = L(a7, a-, . . . ,x). Un problème qui se pose immé- 

 diatement est celui de la recherche de tous les systèmes de périodes a, qui 



peuvent jouer vis-à-vis de f{jc) le même rôle que a^, a., a„. On voit 



aisément que, parmi les périodes a^, a^, ..., a„, on peut se borner à celles 

 d'entre elles qui sont indépendantes : si p est leur nombre, on obtient ainsi 

 une certaine fonction L(a;,, x^, . . . , Xp). 



» J'appellerai ordre périodique de la fonction /(x), l'ordre périodique q 

 de la fonction des p variables indépendantes L (a;,, x.,, ..., x^,). Le nombre q 

 est un entier caractérisant essentiellement la fonction/(a;) au point de vue 

 de la périodicité. Si ^r = i on retombe sur la périodicité ordinaire. On dé- 

 finit enfin l'existence d'un corps de périodes, corps d'ordre q, tel que q pé- 

 riodes indépendantes, arbitrairement choisies dans ce corps P, peuvent 

 jouer vis-à-vis de /(a?) le rôle que j'ai attribué à a,, a^, . . ., r?„ (q est tou- 

 jours inférieur ou au plus égal à n). A chaque système a,, y.o, . . . , a^ de 

 périodes ainsi choisies correspond une fonction L(a;,,a-2, . . ., x' ), que 

 l'appellerai fonction associée nécessairement irréductible, périodique sépa- 

 rément par rapport à chacune des variables. 



» On passe d'une fonction associée à une autre fonction associée par 

 des formules de substitutions linéaires très simples. Le corps des pé- 

 riodes P est le corps des périodes de la fonction f(.v ). 



» Une classe importante de fonctions quasi-périodiques est celle des 

 fonctions de fonctions péiiodiques. Si m, (x), u^Çx), . . . , u^(x) sont des 

 fonctions continues simplement périodiques, toute fonction continue 

 uniforme F[u,(x), u^{x), . . ., u,^(x)] est une fonction quasi-périodique 



