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est alors toujours convergente et l'égalité 



F B(ir) = re-'"F(,ox) (ho 



a lieu partout dans l'intérieur d'une certaine étoile B qui a été déterminée 

 par M. Borel. M. Phragmén a montré que cette étoile est en même temps 

 une étoile de convergence pour l'intégrale de Laplace-Abel 



re''^¥{Lox)dio. 



» Dans un Mémoire que je viens de publier [5«/ la représentation ana- 

 lytique d'une branche uniforme d' une Jonction monogène. Quatrième Note 

 {Acla math., t. XXVI)] j'ai montré qu'en s'aidant d'un paramètre positif a 

 remplissant la condition o <a^i, on peut remplacer la fonction entière 

 F(war) par une autre fonction entière plus générale Y{x, w, a) telle que 

 Y{x, a>, i) = F(coa?), et qu'on obtient en même temps 



FA(a;) = lim f e-"F(.r, co, y.) da 



Celte égalité a lieu partout à l'intérieur de l'étoile A, qui est encore une 

 étoile de convergence pour l'intégrale de Laplace-Abel modifiée 



lim / e-"'Y{x, «>, 7.)r/(.o. 



» Au moment de terminer mon travail, j'ai eu connaissance d'un beau 

 résultat de M. Le Roy [Sur les séries divergentes et les fondions définies par 

 un développemement de Taylor {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 

 t. II, année 1900, p. 322-328)], à savoir que l'égalité 



¥k{x) = lim^ y^^^'^ c^x" (t positif, réel, plus petit que i) 



a lieu partout à l'intérieur de l'étoile principale A. En s'aidant de cette 

 expression, on peut modifier (d'une autre manière que celle que j'ai em- 

 ployée dans ma Note 4) l'intégrale de Laplace-Abel, de manière à repré- 

 senter la totalité de la branche fonctionnelle FA(a;). On obtient en réalité 



FA(a;) = lim f e-'^F(m'x) di^, 

 égalité valable partout à l'intérieur de A. 



