SÉANCE DU l'' DÉCEMBRE T902. 94? 



On trouve, en tenant compte du théorème de ma Note précédente, 



h " 



(3) T,^^ f Ridx<-^ — _ = j:;i_<:^i^ — < 



"n-rl 



M, désignant le maximum de module/'(a;) dans l'intervalle (a, b). 



» L'égalité (2) montre que R„ est une fonction de x, continue avec sa 

 dérivée à l'intérieur de l'intervalle («, h) et s'annulant pour les limites de 

 cet intervalle. On a donc 



d'où, en vertu de (1) et de (3), 



R„(a-)< 2 VT„T„ < -z^TTTT)"" 



» On obtient donc le théorème suivant : 



» Théorème. — Toute fonction f, continue, admettant la dérivée du pre- 

 mier ordre dans l'intervalle donné (a, b) et s'annulant pour les limites de cet 

 intervalle, se développe en série uniformément convergente de la forme suivante : 



/ = > sui — j / / sm — ^ ax. 



2-' ^ b — a J ' b — a 



* = i 



» La valeur absolue du reste de cette série ne surpasse pas la quantité 



{b — a)\/2 M| 



M, désignant le maximum du module def'{x) dans l'intervalle donné. 



» Ce théorème n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus général 

 qui s'énonce comme il suit : 



M Théorème. — Toute fonction f, satisfaisant aux conditions du théorème 

 précédent, se développe en série uniformément convergente de la forme sui/^ante : 



(4) f=^y^A,y„ A,^fpfw,dx, 



