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au moyen des substiuitions étudiées ci-dessus ces formes peuvent s exprimer en 

 fonction des variables a„, a„+f, a„+o, ..., «„+/j- 



» Le théorème fondamental consiste en ce que les coefficients de ces 

 formes "successives restent tous inférieurs en valeur absolue à des nombres 

 fixes, de sorte qu'au bout d'un certain nombre d'opérations on retombe 

 sur les formes dont on est parti ou sur des formes déjà envisagées; en 

 d'autres termes, la suite des 1 est périodique simple ou mixte suivant le 



cas. 



M La méthode décrite permet donc de se rendre compte si un vecteur 

 quelconque donné a„,rt,, «2, ....fl;; est une solution d'un système de formes 

 quadratiques de k -\- i variables à coefficients entiers. 



» Elle permet, en outre, de généraliser la notion d'équivalence de 

 Dedekind, ainsi que les recherches de Dirichlet. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks transcendantes uniformes, définies par 

 des équations différentielles du second ordre. Note de M. R. Liouville, 

 présentée par M. Jordan. 



H J'ai quelques mots à répondre aux nouvelles observations de M. Pain- 

 levé : Je n'aurais, paraît-il, que le choix entre une erreur et un truisme. 



» L'erreur qui m'a été reprochée n'est pas de moi et ma Note citée ne 

 laisse ni doute possible, ni choix à faire. 



» Quanta la proposition que M. Painlevé semble aujourd'hui regarder 

 comme un truisme, c'est celle qu'il énonçait, dans sa Note du 8 septembre, 

 comme étant la seule, en réalité, démontrée par mon analyse. L'énoncé 

 qu'il en a donné, en croyant me rectifier, ne diffère en aucun point essen- 

 tiel de celui que j'avais indiqué moi-même. 



» Pour l'établir comme je l'ai fait, on ne rencontre aucune difficulté. 

 S'ensuit-il que ce soit un truisme? Il importe peu que mon raisonnement 

 puisse être étendu à toutes les équations différentielles du second ordre, 

 car il n'y a en ceci aucune absurdité, lorsqu'on ne modifie pas mon 

 énoncé, et ma première Note a d'ailleurs mentionné que je n'avançais 

 rien encore de spécial aux équations à points critiques fixes. 



» [/analyse très brève que j'ai présentée introduit les véritables élé- 

 ments de la question que j'avais en vue, et l'on n'arriverait guère, en 

 cherchant à lui substituer une prétendue évidence, qu'à sous-entendre des 

 restrictions importantes. 



