SÉANCE DU 8 DÉCEMBRE 1902. I02I 



» 2. Ecrivons l'équation (i) sous la forme 



et soit ii(x,Y,z) une intégrale première de (2). Appelons, d'autre part, 

 système 1 tout système d'équations aux dérivées partielles en n'(x,y,z) 

 dont la solution générale est de la forme 



j w(x,y,z) = a,w^-ha.ir.,-ha3iV3-^a,w., 

 ^ ' i (a,, a.,, «3, «i constantes arbitraires). 



Un tel système est linéaire par rapport à w et à ses dérivées premières, et 

 ses coefficients sont des coefficients analytiques deœ,y, z. Ceci posé, le 

 résultat démontré par M. Liouville s'énonce ainsi : 



)) // existe des systèmes 1 tels que le quotient u=— de deux solutions arbi- 

 traires «',, w. de 1 soit une intégrale première de (2). 



» Cette proposition est évidente pour n'importe quelle équation du second 

 ordre. Écrivons, en effet, une telle équation sous la forme 



(4) ^ = -' ^■^^(^'y'^^ (R algébrique en a;, v, s), 



et appelons système S tout système 1 tel que le quotient de deux solutions 

 quelconques de 1 soit une intégrale première de (4). Pour obtenir un 

 système S, il suffit de choisir arbitrairement une fonction /(a:, y, s) et 

 quatre intégrales premières m,, «2» "s» "» *le (4); si l'on pose 



w = (a,Uf -h a.Ui-h a^ii.-h a^u.,)J, 



la fonction w vérifie lui système différentiel 1 qui est un système S, et 

 tous les systèmes S peuvent s'obtenir de celte manière. 



» Un système S une fois connu, son intégration revient (d'après la mé- 

 thode de Meyer, par e\emp\e) a celle (Vune équation linéaire ordinaire du 

 quatrième ordre. Mais, quand l'équation proposée (4) est quelconque, il est 

 impossible, en général, de construire effectivement un système S. En effet, 

 les coefficients d'un quelconque de ces systèmes sont des fonctions analy- 

 tiques de X, y, z qui vérifient certaines équations (algébriques) aux déri- 

 vées partielles ( ' )', soit T. Or l'intégration de ces équations T revient à celle 



(») Ces équations T sont les conditions nécessaires et suffisantes : 1° pour que les 



