SÉANCE DU H DÉCEMBRE 1902. I023 



Communication prochaine). Cette terminologie me semble inadmissible. 

 A quels résultats extraordinaires n'arriver;iit-on pas si on l'admettait? 

 A celui-ci, pnr exemple .• Toute équation du deuxième ordre (ou d'ordre n) 

 est intégrable par quadratures. En etl'et, soient m, (a-, y, z), u.,(x, y, z) 

 deux intégrales premières de (4); il existe évidemment des systèmes de la 

 forme 



(5) 



du du du 



(c, Pj y, fonctions analytiques de .r, y, z), dont la solution générale 



est w = M, 4- const., c = r/o + coiist. Un tel système (5) s'intégrant par 

 quadratures, l'intégration de (4) est réduite aux quadratures. Tel est 

 exactement le mode de raisonnement de M. Jjouville dans sa Note du 

 i*"" septembre. 



» 4. Il est une chose encore que je m'explique mal. La Note en question 

 se termine par cette phrase (loc. cit., p. 395) : 



« Au surplus, l'emploi des considérations qui viennent d'être indiquées 

 » n'est pas limité aux équations du second ordre à points critiques fixes : 

 » les cas dans lesquels s'applique une transformation analogue sont étendus ». 



)) Pourquoi M. Liouville n'a-t-il pas écrit (pnisiju'il le savait) que sa 

 transformation s'a|)plifpiait, sans la moindre modification, à toutes les 

 équations du second ordre? Autrement dit, qu'il réduisait n'importe quelle 

 équation du deuxième ordre à une équation linéaire du quatrième ordre? 

 Tous les lecteurs eussent compris, du coup, le sens inusité tlans lequel 

 M. J.iouville employait le mot réduction. 



n Mais je ne veux pas épiloguer davantage sur ces détails. Ce qui im- 

 porte, c'est que nous soyons mnintenant d'accord, M. Liouville et moi, 

 sur les résultats par lui établis. Il est donc bien entendu que tout ce qu'a 

 démon/ré M. Liouville sur l'équation (i) est i-rai pour n'importe quelle équation 

 du second ordre, i'ar conséquent, l'assertion d'après laquelle l'intégration 

 de l'équation (i) serait réduite à celle d'un système linéaire du quatrième 

 ordre est nulle et non avenue. 



)) 5. De l'irréductibilité absolue de l'équalion (i). — Je dirai maintenant 

 quelques mots d'un sujet qu'a touché M. l^iouviUe dans ses deux der- 

 nières Notes. J'ai montré, dans ma Communication du 27 octobre, que 

 l'équation (i) est irréductible au sens de M. Drach, par suite absolument 

 irréductible. M. Liouville ne pense pas que l'irréductibilité ainsi entendue 



