Io46 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



« On peut donner à l'expression 

 (2) F(x,y) =/Çt - h, Y - k) -f{x - h, y) -/{x, y - k) ^f{x, y) 

 la forme suivante : 



n = m 



(3) F(^.j) = 2-irrLr^-^^^j -'' ^-^ ^^J- 



n = l 



» D'une façon analogue on peut développer les premiers, deuxièmes, etc. 

 quotients différentiels d'après les puissances de h et /-, d'où 



n= tn — 1 



dF _ ^ {- T)" r ± (j di . dj\' _ j d^i _ d-'^^f 1 



nr::zjn — 1 



n— 1 

 n 1= //f — - 



d^-F _ V (-0" r <)' [ràf d/y , ()"-v ,„ d"^\f -j 



J."' 



dJ 



n = l 



77 ^ 777 - 





71 = 1 



)) Défuiissons les nombres de BernouUi par l'équation 



e- — I 



puis multiplions les expressions (4) et, en général, l'expression de ^^^, . ^,_^ » 

 successivement par 



^-II^^.,h,b^_Jl'k^-' 



et faisons la somme des produits obtenus. Alors, à droite, il subsistera le 



seul terme hk ^ • , » et nous obtiendrons la formule 



àx dy 



7t=m 



,7 d-f xn (-1)" /// <^F 7i,àF\w 



7!=0 



