SÉANCE DU 8 DÉCEMBRE 1902. I047 



dans laquelle il faudra développer l'expression 



d'après les règles ordinaires et, après cela, écrire, à la place des puissances 



et des produits de -r- et -y-, les quotients différentiels correspondants, et, 



à la place de Z^^resp. b"'', les grandeurs è^resp. b^. 



» Dans cette formule (5) nous écrirons, en place de x et de y, x -h rh 

 et j + sk, et ferons rresp. j prendre successivement les valeurs 1,1, ..., p, 



resp. I, 2 cj. On additionnera toutes les formules correspondantes; 



alors ou obtiendra à gauche la somme 



,, v^ 'V' à'/i-r + rh, y + sk) 



» Pour être à même de simplifier le côté droit, nous introduirons la 

 fonction 



\ - f{3:,y + (jk)^f{x,y), 



(6) 



et nous arriverons à la relation 



(7) ^^is ^'^"i:y"'" =s^H^^t^^"f)"- 



r = l 5 = 1 " = " 



» Eu appliquant cette formule au cas spécial où f{x,y) est égal 

 à (a; + 7)"""^ puis, donnant à a; et j les valeurs spéciales x = y — o, on 

 obtient la somme que M. Appell traite, dans une Note qui paraîtra sous 

 peu, dans V Archiv der Malhemalik uiid Physik et qui m'a amené à établir la 

 formule (7). 



» II. Comprend-on sous/(j;, 7) une fonction quelconque, la somme 



,, •sryyr^d^f{x-+- rh , y + sk) 



peut être poursuivie d'après la même méthode. Ce qui différencie, dans 

 ce cas, les formules (3), (5), (7) des formules données jusqu'à présent, 

 c'est qu'un reste s'y produit ii droite. Dans l'équation (i), celui-ci a la 



