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de telle sorte qu'il n'y a pas de pareil domaine sans sous-groupe. La réci- 

 proque n'esl malheureusement pas vraie. 



Jusque-là, l'auteur était resté dans ces régions où l'on perd en précision 

 ce qu'on gagne en généralité. Il se restreint ensuite aux fonctions de deux 

 variables x ely et aux systèmes d'équations linéaires. A un pareil système 

 doit correspondre une infinité de fonctions intégrales dépendant d'une 

 infinité de constantes a,; soit 



Les a,- sont les valeurs des dérivées fondamentales pour ce = a^o. V ^Voî 

 les Uj sont donc des fonctions de x, y, x^, et >(,. Le choix des dérivées fonda- 

 mentales peut d'ailleurs être fait de façon que les m; se répartissent en suites 

 ascendantes, et que chacune fl'elles soit la dérivée par rapport à x^ de celle 

 qui vient après elle dans la même suite. 



L'auteur cherche ensuite si parmi les intégrales il y en a qui corres- 

 pondent à un sous-grou[)e du groupe deDarbouxou à un sous-groupe de K. 

 et dont la présence, par conséquent, puisse faire espérer que le système pro- 

 posé est réductible. Soit U„ une pareille intégrale s'annulant pour £c ^ x^, 

 y = jo, ainsi que ses dérivées des n — i premiers ordres. 



. , d\]„ ^ d\3„ .• j . . , • 



Alors, — — et -^ — appartiendront au même sous-groupe, et, si ce sous- 



groupe est de première classe, pour employer la terminologie de l'auteur, 

 on aura 



ou nous supposons 



Or, il arrive que le premier coefficient 7^„ est donné par une équation 

 algébrique tout à fait analogue à Véquation déterminante de Fuchs; cette 

 équation peut en même temps servir à définir les caractéristiques de 

 Monge. 



Toute racine simple de cette équation nous donnera ainsi un sous-groupe 

 de première classe; malheureusement, nous avons vu que l'existence d'un 

 sous-groupe est une condition nécessaire, mais non suffisante de la réduc- 

 tibilité. 



Les intégrales U^ forment alors ce que l'auteur appelle un cycle de 

 première classe ; a chaque racine simple de l'équation en Àj, ou à chaque 



