Il6o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



partielles à n + i variables indépendantes ^ /, /„. On la considérera 



comme un système anlomorphe (S) de n équations entre n fonctions indé- 

 pendantes x^, X., x,, (le groupe de ce système automorphe étant le 



groupe ponctuel i^énéral); pour simplifier, nous supposons que le domaine 

 de rationalité est le domaine naUirel. La question fondamentale, pour notre 

 auteur, est de savoir quel parti l'on peut tirer, |)our l'intégration de (S), de 

 la connaissance de certaines relations (A), entre les fonctions, leurs déri- 

 vées et les variables indépendantes qui sont satisfaites pour quelque solu- 

 tion de (S). Il est ainsi conduit à la considération d'une série de systèmes 

 automorphes dont les groupes associés sont du même type, ces groupes 

 étant en général infinis. On peut d'ailleurs déterminer un système auto- 

 morphe de la série précédente, de telle sorte que Cf système admette une 

 solution donnée de (S), ce qui n'exigera que des opérations rationnelles, 

 si les valeurs des x, pour une valeur particulière / = t„ de t, se réduisent à 

 des fonctions rationnelles de t^,t., .... /„ et, en particulier, k 1^,(2, .... fn< 

 ce que l'auteur appelle la solution principale n^. Après ces préliminaires, il 

 est possible de discuter et de préciser la théorie esquissée par M. Drach, 

 pour le cas oîi l'équation donnée est spéciale, c'est-à-dire où il existe 

 quelque système de relations (A) rationnelles par rapport aux /, aux x et 

 leurs dérivées, qui soit compatible avec (S). L'auteur montre qu'on peut 

 se limiter aux systèmes (S, A) admetlant comme solution une même solu- 

 tion principale a^ de (S) et, parmi ceux-ci, à ceux qui sont aulomorplies. 

 On établit ensuite que, parmi ces derniers, il y en a un dont tous les autres 

 admettent les solutions; à ce système est associé un groupe G. qui est le 

 groupe de rationalité (le l'équation proposée. Le groupe associé à l'un quel- 

 conque des autres systèmes contient G : c'est un théorème analogue au 

 théorème célèbre de Galois. Le groupe G est relatif à la solution princi- 

 pale c;„. Le point qui, pour l'auteur, constitue une différence essentielle 

 entre la solution principale do (ou celles qui s'en déduisent par transtor- 

 malions ratiotuielles) et les autres est que, pour une solution résultant d'une 

 transformation T que nous pouvons appeler Tç„, il n'existe pas, en général, 

 de système rationnel admettant seulement pour solution Tig et ses trans- 

 formées parles transformations du groupe T"' GT. L'auteur attache une 

 grande importance à la considération des solutions principales (ou leurs 

 transformées rationnelles) et écrit même que la théorie peut se faire seule- 

 ment avec ces solutions. On peut émettre quelque doute à ce sujet, et la 

 théorie pourrait probablement être présentée d'une manière plus large ; la 

 notion de groupe de rationalité de l'équation ne s'en trouverait d'ailleurs 



