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MÉCANIQUE. — Des conditions nécessaii es pour qu un Jluide soit en équilibre 



stable. Note de M. P. Duhem. 



« Les méthodes imaginées par M. LiapounofT et par M. Hadamard, et 

 appliquées par ces géomètres à des systèmes qui dépendent d'un nombre 

 limité de variables, peuvent s'étendre à certains systèmes fluides et indi- 

 quer que certaines conditions sont indispensables à la stabilité de ces 

 systèmes. 



» Comme exemple, nous traiterons ici le cas d'un fluide homogène et 

 incompressible, dont les éléments sont soumis à des forces qui dérivent 

 d'une fonction potentielle V et dont la surface terminale S^ est soumise à 

 une pression uniforme et constante. 



» Soit n la normale à la surface S„, vers l'intérieur du fluide. Si -r- 



an 



n'est négatif en aucun point de la surface S„ et est positif en tout point d'une 



aire d'étendue finie appartenant à cette surface, l'équilibre du fluide ne peut 



être stable. 



» Prenons le fluide en équilibre et, sans déranger aucun des points 



matériels qui le forment, imprimons à ces points des vitesses initiales. 



A l'instant t, le point matériel dont les coordonnées, eu l'état d'équilibre, 



étaient x, y, z a pour coordonnées 



a;-ha(:v,y,z,t), y -\- b(:r,y, :.,t), z + c{œ,y, z, t). 



» Si l'équilibre du système était stable, on pourrait limiter supérieure- 

 ment les vitesses initiales de telle sorte que l'on ait, quels que soient x, 



(i) l«|<A, \b\<k, |c|<A, 



A étant une constante positive arbitrairement choisie d'avance. 



» D'autre part, la théorie des petits mouvements des fluides incompres- 

 sibles nous enseigne que, si Ane surpasse pas une certaine valeur, on peut 

 écrire 



(^) « = -i('+^-^)' ^==-|(' + ^-B), c = -^(n-vC), 



>^, jx, V étant trois fonctions à&x, y, z, t dont la valeur absolue ne surpasse 



