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les deux fonctions /(a;) et /(a;) + cp(a^), ont, dans cette aire, le même 

 nombre de racines. 



» Une telle règle existe effectivement, et cela non seulement pour les 

 fonctions entières, mais aussi pour les fonctions de la forme 



(0 F(^) + F,(i) 



[F(ir) étant une fonction entière et F, une série entière à rayon de con- 

 vergence non nul], de sorte qu'elle est applicable à l'étude d'une fonction 

 analytique au voisinage d'un point essentiel. 



» Pour l'obtenir, soient [comme dans un précédent article ( ')] 



(2) la„,œ'" 



la fonction donnée [m variant de o à -+- ce s'il s'agit d'une fonction entière, 



de — 3c à 4- 00 dans le cas de la fonction (i)] ; jj. = L 1 — ; P, le polygone 



de Newton circonscrit aux points (m, (y.). Considérons un sommet de ce 

 polygone, le côté qui arrive en ce sommet ayant pour équation 



(/. ^ p — ma., 

 et le côté qui en part 



[;. = [i, -mot,. 



» Soient p = e"""- ; ;/ = | a; | e"^ ; i' = -j — - e'^, de sorte que, pour un choix 

 convenable de |.r|, les nombres p, u, c sont plus petits que i et que l'on a 



(3) m> = çi. 



» Nous appliquerons la remarque précédemment rappelée en prenant 

 poury(a7) la quantité a^x'" et pour 9(3;) l'ensemble des autres termes, 

 tant précédents que suivants, de la série (2), On a alors aisément 



<p(a.) 



/(•^■) 



< 



» Or, on peut rendre le second membre de cette inégalité inférieur à r, 

 tout en satisfaisant à l'équation (3), si l'on a 



(4) ?<-• 



(') fiidl. Soc. math. Fr., t. XXIV, 1896, p. i86. 



