SÉANCE DU 29 DÉCEMBRE 1902. 3ll3 



» On trouve, en choisissant convenablement le nombre S, 



n 



(2) \s'^:\oc) -siroKg^^ke-^" <:,, t>o, 



» D'autre part, en choisissant n = v assez grand, on aura 



(4) i/(^)-s;;'(^)l<a. 



» Les nombres S et n ainsi fixés, posons 

 » On aura 



(5) |s;;'(e) -s„(01<a, 



(^) |S;;'(^)-S„(a;)|<s. 



» Les inégalités (2), (3), (4) et (5) donnent 



|/(^)-S<"(a;)|<4e, 



ce qui exprime le théorème de Weierstrass-Picard. En tenant compte de 

 l'inégalité (6), on trouve encore 



|/(^)-S„(a?)|<5e. 



On peut donc toujours construire une suite finie S„(a;) de Fourier telle que 

 la fonction continue f(^x^ puisse être représentée en tous les points de l'inter- 

 valle donné par S„(:i;) avec V approximation donnée à Vavance. C est précisé- 

 ment le théorème énoncé à la fin de ma Note du 1 7 novembre 1902. 



» Si f{x) admet une dérivée continue, le point ï, varie, en effet, d'une 

 manière continue, lorsque le segment ap se déplace suivant l'axe des ce. 

 Dans ce cas, la série de Fourier converge uniformément en tous les points 

 de l'intervalle donné. 



» Il importe de remarquer que la méthode indiquée est très générale : 

 elle s'applique plus spécialement aux séries trigonométriques , mais aussi aux 

 cas beaucoup plus généraux et, en particulier, aux séries procédant suivant 

 les polynômes de Tchébicheff. » 



