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son développement de Taylor en ce point, et désignons d'autre part, avec 

 M. Mittag-Leffler, par A l'étoile principale relative aux constantes a et 

 par FA(iF) la branche correspondante de F(a7). On peut se proposer de 



trouver une fonction 7(2, a), dépendant d'un paramètre a et vérifiant la 



1 

 condition iim | cp(/î, a)!" = o, telle que, a tendant vers zéro, la fonction entière 



( I ) ao?(o> '^) -^ ^1 ?( I' ^)''^ -h. . .-h a„'f(n, a)a;" +. . . 



tende uniformément vers FA (;r) dans tout domaine intérieur à A. 



» On sait, d'après une remarque due à M. Borel, qu'il suffit de déter- 

 miner la fonction cp(s, a) de telle sorte que l'égalité 



(2) limy (f(/?, a)j7"= -^ 



a = 0-' 

 



ait lieu uniformément dans tout domaine fini T n'ayant aucun point 



commun avec le segment -t- i l-oc de l'axe réel. Or, pour résoudre 



ce dernier problème, on est conduit tout naturellement à faire usage de la 

 théorie des résidus de Cauchy. 



» 2. Considérant d'abord un cas particulier, nous montrerons que, 

 a tendant vers zéro par des valeurs positives, on a uniformément, dans 

 tout domaine tel que T, 



(3) iï:2(,7 



Le théorème de Cauchy permet d'écrire 



le contour Si. étant par exemple un rectangle aux côtés parallèles aux axes 

 des coordonnées, symétrique par rapport à l'axe réel, de hauteur 2A, et 



dont les côtés verticaux passent respectivement par les points 3 = - et 



I 



z = i> -\ 



2 



» Posons z ^ ^ -\- it et œ = re"''^^'^\ de sorte que cp désigne l'angle formé 



par le ravon vecteur du point x avec l'axe réel négatif; on trouve 



V -^ simt5 :«= 1 sinuc | 21' 



