SÉANCE DU 59 DÉCEMBRE l()0>. l3n) 



solides. Il paraît dès lors nécessaire, si l'on désire étendre, d'une manière 

 quelque peu systématique, les méthodes de la Statique graphique à l'étude 

 des systèmes de trois dimensions, de rechercher un mode de représen- 

 tation plane de l'espace approprié à la nature spéciale des figures réglées 

 et qui, avant toute autre chose, respecte le caractère dualistique que pré- 

 sente la ligne droite dans l'espace. 



)) A cet effet, remarquons que l'ensemble d'une droite g- et d'un point g', 

 quelconques l'un et l'autre dans le plan II où l'on se propose de représenter 

 l'e-ipace, constitue le plus simple des éléments diialistiques dans la géo 

 métrie du plan et susceptible, en outre, puisqu'il dépend de quatre para- 

 mètres, de représenter une droite quelconque de l'espace. Si donc on 

 convient de désigner par la notation (g, g') un pareil élément et par (g) 

 la droite de l'espace qu'il représente, il suffira, pour atteindre le but pro- 

 posé, de déterminer la plus simple de toutes les correspondances linéaires 

 qu'il est possible d'établir entre les éléments (g, g') et les droites (g-). Les 

 considérations suivantes permettent de résoudre ce problème. 



» Lorsque la droite g de l'ensemble quelconque (g, g') demeure fixe, 

 le point ^ étant, au contraire, variable, la droite corres|)ondante engendre 

 dans l'espace une congruence dont l'ordre sera désigné par m, etlaclasse, 

 par n; de même, g' élant supposé fixe, et g variable, (g) engendre une 

 deuxième congruence d'ordre m' et de classe n', A tout élément (g, g') 

 correspondent ainsi deux congruences ayant en commun la seule droite (^), 

 puisque la correspondance cherchée est assujettie à la condition d'être 

 linéaire. On aura donc 



mm' -+- nn' = i , 



et cette relation ne peut être satisfaite que par l'une ou Tautre des solu- 

 tions 



(a) n = /i' = I , m.m.' = o ; 



(b) m==m':r^i, nn':=o. 



» Considérant tout d'abord la solution (a) et supposant, pour simplifier 

 le mode de représentation et par raison de symétrie, que l'on ait séparé- 

 ment m = m'=o, on démontre immédiatement que la correspondance 

 cherchée s'obtient en établissant deux corrélations homographiques quel- 

 conques, d'une part entre les plans d'une première gerbe de centre quel- 

 conque S et les droites g de n, et, d'autre part, entre les points g' de n et 

 les plans d'une deuxième gerbe dont le centre S', également quelconque, 



