( iU ) 



» Il est évident que chacune de ces sommes est comprise entre et 1 ; 

 de sorte que si 



lim = gTi , lim = ^., 



n 



les nombres F^ et Fg sont compris entre et 1. Je veux démontrer que 

 la probabilité cherchée est 



» ce qui est, certes, très remarquable. Si des nombres œ, y sont pris au 



» hasard, parmi les n premiers nombres naturels, et que ç^ soit la pro- 



« babilité d'avoir Q j a;, t/ j = 1 , 



» on a 



n^Ç^ = j 1, 1 j H- Q I 1, 2 j -H I 1, 3 } -4- ... -4- Q 1 1, n j 



-i-QJ2,lj + Q|2,2|-f-OJ2,o|-+-...-»-ÛJ2,n| 



-i-ÙJ3,lj-t-ÙJ3,2|-*-Q|3,3|H h^|3, n| 



-f- il j n, 1 j H- Ù j n, 2 j -f- Q j n,3 j H ^ù\n,n\. 



» Donc 



(n-t-I)2$„+i-n2Ç„=Q I i,n+l j -i-Ù \ 2, n-^l \ h v-ù j n-t-l,n-i-l j 



+Q|n-M, 1 j-^Q jn-f-l,2J-4 i-Q|nH-l,n-f-l | 



= (^lin -+- 1) -4- (j^{n -4-1) — Ojn-Hl,n-t-l|- 



» Changeons d'abord n en n -+- 1, n -t- 2, ... n -4- A — 1, et addition- 

 » nons. Puis remplaçons n par îiv et h par n. Il vient 



(nv-4-n)2$„v+„— (nv)*$„v = cri(nv + 1) -h ai(nv+2)H l-ai(nv-t-n) 



H- a2(nv -4- 1) -+- ffat^^ -4- 2) H H a2(nv -»- n) 



Û jnv-4-1, nv-4-1 j+Q jnv-4-2, nv-4-2 | -4 hû jn+nv, rîv-4-n I [. 



» La troisième partie du second membre, composée de n termes égaux 

 à zéro ou à l'unité, est comprise entre et n : son rapport à n^ tend 



