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II. Dérivées d'ordre quelconque de la fonction 

 FX — Fx 



^x 



X — X 



3. Cas où X est différent de X. On a, par le théorème de 

 Leibniz, 



t^,Px = DP(FX — Fx) (X — x)-* = 



(FX-Fx)xl.2...p(X-x)-''-*-i-^(-F'x)xi.2...(p-1)(X-a:)-' 

 -*- ^^7T^(-P"^) X ^-^ - (P-^) (X-x)-'+' 4- ... -i- (-F^x) (X-x)-* 



==.±!:^rFx-Fx-^F^.--i^bfrp^._..._(i^ 



La quantité entre parenlhèses, d'après la formule de 

 Taylor, complétée par le reste de Laplace, est égale à 







Donc, enfin, 



^"x = y (i — t)" FP-*-' [x -^ f(X — x)]dt . . (1) 







Si, au lieu de Texpression du reste de Laplace, on 

 emploie celle de Liouville, on trouve 



F'"*"*x (X x) 



en faisant n = p -+- 2, dans la formule rappelée au n** 2. 

 Corollaire. On déduit de là 



"^ ^""p -4- i F'+*x — F''-*-*X F^+'x -^ £ 



X — X (p-*-d)(x— X) (p -t- 1) (p H- 2) 



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