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 et, à la limite, en faisant tendre indéfiniment x vers X, 



'^"^'^y:^ F^+«x Fp+*x ___F^+»x 



*'"* X — X ""p-+- l~"(p -f- 1)(p-*-2)~"p-h2' 



4. Cas où X est égal à X. Pour cette valeur particulière, 

 on a ^X = F'X. On ne peut évidemment, dans ce cas par- 

 ticulier, trouver les dérivées de l^lx au moyen des calculs du 

 n" 3. Mais on les obtient aisément en s'aidant de la 

 formule (3). D'après la définition même d'une dérivée, 



Tjc — FX 



Aix — 4^X 

 vf;'X = lira ^ = lira 



(i__,_F'X 



X — X X — X 



Fx-FX-(x-X)F'X ,. i(a:-X)^[F"X-+-5] F"X 



'- — ^r:i^^ -''"^ — ^TTxF— ==-T- 



On a ensuite, d'après la formule (o), 



^' X = lim t 1^ == hm I — - = { F"'X, 



^ X — X X A 



a;"'X = lim -î^ -L_ =lim-^^ '— = i F-X, 



^ X — X X — X 



et ainsi de suite. En général, 



^'^=^Ti w 



Corollaire. En faisant tendre x vers X dans la for- 

 mule (2), on trouve 



FP+»X 



limtLPx = r^^'X. 



p-nl 



Donc les dérivées de ^x sont des fonctions continues, 

 même pour x == X. De plus, la formule (1) est vraie, même 



