( 500 ) 



Xf, Xj, ..., X, de y. Nous avons donc 



P'(x) 



__i__/'(i _ t/ r- F-[x -H t(, _ X)]*. 



Quand t varie de ai, F'"*' ' [x -+- t (/} — x)] reste 

 compris entre une valeur maxima M et une valeur minima 

 m. Par suite, P^ (x) est compris entre les produits de M et 

 m par 



1.2... (w-^ 1)/ ^ ' 1.2...(w— i)Xl.2...(p-+-n) 



(p-i- i)... {p -*- n) 

 Entre M et m, F"'^''a: varie continuement. Il y a donc une 

 valeur ^ telle que 



formule fondamentale à laquelle nous voulions arriver. 



«. Seconde méthode. Pour en confirmer l'exactitude, 

 nous allons reproduire sommairement la démonstration 

 publiée dans les Comptes rendus. Toutes les intégrales con- 

 sidérées dans ce numéro sont prises le long d'un contour 

 enveloppant les points ayant pour abcisses x, Xi,x2,...,x„; 

 Fz est supposé syneclique le long et à l'intérieur de ce 

 contour. 



On trouve sans peine, de proche en proche, la formule 

 suivante, due à M. Peano [Atti de l'Académie de Turin, 

 1882-1883, t. XVIII, pp. 573-574) : 



<2tiJ {z — x) (z — X.) ... (z — xj 

 Par suite, 



1.2.3... p/^ Fzdz 



P(x) = 1:2:^^/1- 



^ 2W / (z— 



{z—x)p^i{z— X,)... (z — xJ 

 L'expression du second membre diffère, aussi peu 



